Question

17．按照我國(guó)月球探測(cè)活動(dòng)計(jì)劃，共分兩步．第一步“繞月”工程，圓滿完成任務(wù)后，再開(kāi)展第二步“落月”工程．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船沿距月球中心距離為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)，點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ（B點(diǎn)離月球表面的高度小于月球的半徑）繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)以上信息，求（1）飛船在軌道I上運(yùn)行的速度大��；
（2）飛船在橢圓軌道Ⅱ上A處的加速度大��；
（3）飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運(yùn)動(dòng)到B處的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和在地面上萬(wàn)有引力等于重力列方程聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求解加速度大�。�
（3）求解衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律求解衛(wèi)星在Ⅱ軌道上運(yùn)動(dòng)的周期，由此求解飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運(yùn)動(dòng)到B處的最短時(shí)間．

解答 解：（1）飛船在軌道Ⅰ上，萬(wàn)有引力提供向心力：$\frac{GMm}{（3R）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{3R}$，
在月球表面，萬(wàn)有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）根據(jù)牛頓第二定律可得：$\frac{GMm}{{（3R）}^{2}}$=ma，
解得：a=$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期為T₁=$\frac{2π•3R}{v}$=$6π\(zhòng)sqrt{\frac{3R}{{g}_{0}}}$；
衛(wèi)星在Ⅱ軌道運(yùn)動(dòng)的半長(zhǎng)軸為$\frac{3R+R}{2}$=2R，
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可得：$\frac{（3R）^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（2R）}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，
解得衛(wèi)星在Ⅱ軌道上運(yùn)動(dòng)的周期為T₂=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$，
所以飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運(yùn)動(dòng)到B處的最短時(shí)間為t=$\frac{{T}_{2}}{2}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．
答：（1）飛船在軌道I上運(yùn)行的速度大小為$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）飛船在橢圓軌道Ⅱ上A處的加速度大小為$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運(yùn)動(dòng)到B處的最短時(shí)間為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用；解答此類題目一般要把握兩條線：一是在星球表面，忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，萬(wàn)有引力近似等于重力；二是根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列方程進(jìn)行解答．