Question

5．如圖所示，以MN為邊界分布著范圍足夠大的等大反向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子，以初速度v₀從邊界上的P點(diǎn)沿與MN成30°角的方向射入MN右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，通過(guò)了邊界上的Q點(diǎn)，已知PQ間距為L(zhǎng)．（不計(jì)粒子重力）
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足什么條件；
（2）證明：粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為定值，與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小無(wú)關(guān)．

Answer 1

分析 （1）分析粒子在磁場(chǎng)兩側(cè)運(yùn)動(dòng)的情況，求出每次圓周運(yùn)動(dòng)粒子向下平移的距離，找到粒子能經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的幾何條件，再與洛倫茲力提供向心力聯(lián)立，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B所滿足的條件；
（2）求出粒子運(yùn)動(dòng)的總的弧長(zhǎng)，即總路程，根據(jù)t=$\frac{s}{{v}_{0}}$即可求出粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，式子中各物理量均為定值，并且里面不含磁感應(yīng)強(qiáng)度B即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）粒子在兩側(cè)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖，如圖所示，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與L間應(yīng)滿足：L=nR（n=1，2，3…）
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
聯(lián)立兩式可得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1，2，3…）
（2）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)n次圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，
圖中每段圓周的長(zhǎng)度：s₀=$\frac{2πR}{6}$=$\frac{πL}{3n}$
從P點(diǎn)到Q點(diǎn)軌跡的總長(zhǎng)度：s=ns₀=$\frac{πL}{3}$
粒子圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小不變，所以粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{πL}{3{v}_{0}}$
可見(jiàn)，粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為定值，與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小無(wú)關(guān)
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1，2，3…）；
（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，找出粒子從P點(diǎn)出發(fā)能通過(guò)Q點(diǎn)的幾何條件，再與洛倫茲力提供向心力結(jié)合即可求解，第二問(wèn)證明粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為定值，與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小無(wú)關(guān)，只需求解時(shí)間t的表達(dá)式即可．