Question

如圖所示，固定在地面上的光滑圓弧軌道AB、EF，他們的圓心角均為90°，半徑均為R，一質(zhì)量為m，上表面長(zhǎng)也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切，一質(zhì)量也為m的物體（大小不計(jì)）從軌道AB的A點(diǎn)由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車右端與壁DE剛接觸時(shí)，物體m恰好滑動(dòng)到小車右端相對(duì)于小車靜止，同時(shí)小車與DE相碰后立即停止運(yùn)動(dòng)但不粘連，物體則繼續(xù)滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來(lái)沖上小車，求：
（1）物體從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)時(shí)的速率和滑上EF前的瞬時(shí)速率；
（2）水平面CD的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)物體再?gòu)能壍繣F滑下并滑上小車后，如果小車與壁BC相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)時(shí)的速率，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出滑上EF前的瞬時(shí)速率．
（2）對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)能定理、對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律，聯(lián)立求出水平面CD的長(zhǎng)度．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出AB的共同速度，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律求出兩者速度相同時(shí)，之間的相對(duì)距離，小車停止后，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)動(dòng)能定理求出勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出最終物體在小車上滑行的距離．

解答：解：（1）設(shè)物體從A滑落至B時(shí)速率為v₀，由機(jī)械能守恒可得mgR=

1

2

mv02
解得  v0=

2gR

物體與小車相互作用過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)共同速度為v₁，則mv₀=2mv₁
解得    v1=

2gR

2

（2）設(shè)物體與小車間的摩擦力為f，對(duì)物體，由動(dòng)能定理得-fSCD=

1

2

mv12-

1

2

mv02
對(duì)系統(tǒng)，由能量守恒定律得fR=

1

2

mv02-

1

2

?2mv12
解得   SCD=

3

2

R
（3）設(shè)物體從EF滑下后與車達(dá)到相對(duì)靜止，共同速度為v₂，相對(duì)車滑行的距離為S₁，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則mv₁=2mv₂
對(duì)系統(tǒng)，由能量守恒定律得fS1=

1

2

mv12-

1

2

?2mv22
車停后物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)車滑行距離為S₂，對(duì)物體，由動(dòng)能定理得-fS2=0-

1

2

mv22
聯(lián)立解得  S1=

R

4

，S2

=

R

8

則Q點(diǎn)距小車右端的距離為d=S1+S2=

3

8

R
答：（1）（1）物體從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)時(shí)的速率為

2gR

，滑上EF前的瞬時(shí)速率為

2gR

2

；
（2）水平面CD的長(zhǎng)度為

3R

2

；
（3）Q點(diǎn)距小車右端的距離為

3

8

R．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理，綜合性較強(qiáng)，涉及的過(guò)程較多，關(guān)鍵是合理地選擇研究對(duì)象和研究過(guò)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．