Question

3．如圖甲所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)為l、寬為L(zhǎng)的矩形單匝導(dǎo)體線(xiàn)框abcd、a′b′c′d′互相垂直，彼此絕緣，可繞共同的中心軸O₁O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，將兩線(xiàn)框的始端并在一起接到金屬滑環(huán)C上，末端并在一起接到金屬滑環(huán)D上，兩金屬滑環(huán)C、D彼此絕緣，并分別通過(guò)一個(gè)電刷與定值電阻R相連．線(xiàn)框處于磁鐵和圓柱形鐵芯之間的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)邊緣之間所夾的圓心角為45°，如圖乙所示（圖中的圓表示圓柱形鐵芯，它使磁鐵和鐵芯之間的磁場(chǎng)沿半徑方向，如圖箭頭所示）．不論線(xiàn)框轉(zhuǎn)到磁場(chǎng)中的什么位置，磁場(chǎng)的方向總是與線(xiàn)框平面平行．磁場(chǎng)中長(zhǎng)為l的線(xiàn)框邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B，設(shè)兩線(xiàn)框的總電阻均為r，以相同的角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)電刷跟C、D相連的定值電阻R=2r．
（1）求線(xiàn)框abcd轉(zhuǎn)到圖乙位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大��；
（2）求轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R上的電壓最大值；
（3）不計(jì)一切摩擦，求外力驅(qū)動(dòng)兩線(xiàn)框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功．
（4）從線(xiàn)框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始時(shí)，作出0～T（T是線(xiàn)框轉(zhuǎn)動(dòng)周期）時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電流i_R隨時(shí)間變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv和v=rω結(jié)合，求解線(xiàn)框aa′轉(zhuǎn)到圖乙位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小．
（2）線(xiàn)框轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有一個(gè)線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)切線(xiàn)磁感線(xiàn)作為電源，另一個(gè)線(xiàn)框與外接電阻R并聯(lián)后作為外電路，根據(jù)歐姆定律求出電阻R上的電壓最大值．
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解外力驅(qū)動(dòng)兩線(xiàn)框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功．
（4）從線(xiàn)框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，每轉(zhuǎn)45°，即$\frac{T}{8}$周期時(shí)間，電流發(fā)生一次變化，作出電流的圖象．

解答 解：（1）不管轉(zhuǎn)到任何位置，磁感線(xiàn)方向都和速度方向垂直，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大�。篍=2Blv=2Bl$\frac{ωL}{2}$=BlLω
（2）在線(xiàn)圈的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，同一時(shí)刻只會(huì)有一個(gè)線(xiàn)框產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源，另一線(xiàn)框與電阻并聯(lián)組成外電路，${R}_{外}^{\;}=\frac{Rr}{R+r}=\frac{2r•r}{2r+r}=\frac{2}{3}r$
所以R兩端的電壓最大值：${U_R}=I{R_外}=\frac{E}{{r+\frac{2r}{3}}}•\frac{2}{3}r=\frac{2E}{5}=\frac{2}{5}BlLω$
（3）每個(gè)線(xiàn)框作為電源時(shí)，電路中總電流為：
    I=$\frac{E}{{R}_{外}^{\;}+r}$=$\frac{E}{\frac{2r}{3}+r}$=$\frac{3E}{5r}$，
提供的總功率為：P=EI=$\frac{3{E}_{\;}^{2}}{5r}$=$\frac{3（BlLω）_{\;}^{2}}{5r}$
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：W_外=4P•$\frac{T}{8}$=P•$\frac{T}{2}$=P•$\frac{π}{ω}$=$\frac{3π{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}ω}{5r}$
（4）aa′和bb′在磁場(chǎng)中，通過(guò)R的電流大小相等，有：i_R=$\frac{{U}_{R}^{\;}}{R}=\frac{\frac{2BlLω}{5}}{2r}=\frac{BlLω}{5r}$．
從線(xiàn)框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，每轉(zhuǎn)45°，即$\frac{T}{8}$周期時(shí)間，電流發(fā)生一次變化，作出電流的圖象如圖所示．
答：（1）線(xiàn)框aa′轉(zhuǎn)到圖乙位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為BlLω．；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R上的電壓最大值$\frac{2}{5}BlLω$；
（3）外力驅(qū)動(dòng)兩線(xiàn)框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功為$\frac{3π{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}ω}{5r}$．
（4）從線(xiàn)框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，在0～T時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電流i_R隨時(shí)間變化的圖象如圖所示；

點(diǎn)評(píng) 本題首先要認(rèn)識(shí)電路的結(jié)構(gòu)，搞清電源和外電路，其次要能根據(jù)能量守恒定律求解外力所做的功．