Question

（2013?南通二模）如圖所示，一直立的輕質(zhì)薄空心圓管長(zhǎng)為L(zhǎng)，上下端口處各安放有一個(gè)質(zhì)量均為m的圓柱形物塊A、B，A、B緊貼管的內(nèi)壁，厚度不計(jì)．A、B與管內(nèi)壁間的最大靜摩擦力分別是f₁=mg、f₂=kmg （k＞1），且滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等．管下方存在這樣一個(gè)區(qū)域：當(dāng)物塊A進(jìn)入該區(qū)域時(shí)受到一個(gè)豎直向上的恒力F，而B在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)不受它的作用，PQ、MN是該區(qū)域上下水平邊界，高度差為H（H＜L）．現(xiàn)讓管的下端從距離上邊界PQ高H處由靜止釋放．
（1）若F=mg，求A到達(dá)上邊界PQ時(shí)的速度v_A和B到達(dá)下邊界MN時(shí)的速度v_B．
（2）為使A、B間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，求F應(yīng)滿足的條件．
（3）若F=3mg，求物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間距離．

Answer 1

分析：（1）A從下落至到達(dá)上邊界過(guò)程中，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，因此可以對(duì)整體應(yīng)用機(jī)械能守恒來(lái)求整體的速度，也就等于A的速度．
而從整體到上邊界再到B落到下邊界過(guò)程中，對(duì)整體來(lái)說(shuō)受到一個(gè)向上的恒力F，所以它的機(jī)械能不守恒，因此這個(gè)過(guò)程要用動(dòng)能定理，一次來(lái)求的B的速度．
（2）若使A、B間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就是要讓A的加速度和整體的加速相等，據(jù)此列出兩個(gè)牛頓第二定律表達(dá)式，在結(jié)合A的最大靜摩擦力即可解出恒力F的范圍．
（3）這里涉及到多物體的運(yùn)動(dòng)，一定要分析好各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，并且明確各物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，即其初位置，末位置之間的關(guān)系，這個(gè)考查的就是兩大基礎(chǔ)中的運(yùn)動(dòng)分析．其實(shí)運(yùn)動(dòng)和受力很多時(shí)候是分不開的，比如這里我們要分析物體的運(yùn)動(dòng)，首先要受力分析，以此才能來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)情況．這就是牛頓第二定律應(yīng)用之一的：由受力確定運(yùn)動(dòng)．另外一個(gè)是：由運(yùn)動(dòng)確定受力．這一問(wèn)的分析時(shí)這樣的：
從A到上邊界至A到下邊界這個(gè)過(guò)程中：對(duì)A來(lái)說(shuō)，我們可以知道它和管相對(duì)滑動(dòng)了，則它與管之間的摩擦力就等于滑動(dòng)摩擦力，而題目告知滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，最大靜摩擦力又等于mg，所以滑動(dòng)摩擦力等于mg．A還受重力，向上的恒力F=3mg，由牛頓第二定律可以求的其加速度，進(jìn)而確定其運(yùn)動(dòng)情況．
由于管的質(zhì)量不計(jì)，在此過(guò)程中，A對(duì)管的摩擦力與B對(duì)管的摩擦力方向相反、大小均為mg，B受到管的摩擦力小于kmg，則B與圓管相對(duì)靜止．而對(duì)管和B這個(gè)整體來(lái)說(shuō)，受到重力、A對(duì)管的摩擦力，且二力平衡，故管和B這個(gè)整體做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
然后計(jì)算A和管的運(yùn)動(dòng)位移，就可以計(jì)算出物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間距離．

解答：解：（1）對(duì)A來(lái)說(shuō)受到F=mg的恒力下，A相對(duì)管不會(huì)滑動(dòng)，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候F和重力正好平衡，A受合力為零．
對(duì)整體從開始下落到上邊界PQ過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有
2mgH=

1

2

(2m)vA2 
解得 vA=

2gH

對(duì)整體從開始下落到完全離開MN邊界的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
  2mg(2H+L)-FH=

1

2

(2m)vB2
解得 vB=

g(3H+2L)

（2）設(shè)A、B與管不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)共同加速度為a，A與管的靜摩擦力為f_A，則有
對(duì)整體：2mg-F=2ma
對(duì)A：mg+f_A-F=ma
并且    f_A≤f₁
解得    F≤2mg
即F應(yīng)滿足：0≤F≤2mg
（3）當(dāng)F=3mg，可知A相對(duì)圓管向上滑動(dòng)，設(shè)A的加速度為a₁，則
mg+f₁-F=ma₁
解得 a₁=-g 
與前階段自由落體H位移比較，A向下減速運(yùn)動(dòng)位移H時(shí)，速度剛好減到零，此過(guò)程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

2H g

由于管的質(zhì)量不計(jì)，在此過(guò)程中，A對(duì)管的摩擦力與B對(duì)管的摩擦力方向相反、大小均為mg，B受到管的摩擦力小于kmg，則B與圓管相對(duì)靜止，受到重力、A對(duì)管的摩擦力二力平衡，以速度v_A作勻速直線運(yùn)動(dòng)．物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間距離
△L=L-（v_At-H）
解得：△L=L-H
答：（1）A到達(dá)上邊界PQ時(shí)的速度：vA=

2gH

，B到達(dá)下邊界MN時(shí)的速度：vB=

g(3H+2L)

（2）為使A、B間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)F應(yīng)滿足：0≤F≤2mg
（3）物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間距離：△L=L-H

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在第三問(wèn)上，難這是多物體的運(yùn)動(dòng)，并且涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如何來(lái)分析多物體的運(yùn)動(dòng)呢？關(guān)鍵就是要明確這多個(gè)物體之間有什么樣的相互作用，其各自的于東情況是如何的，相互之間有什么樣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)等幾個(gè)方面去分析，尤其在其受力上，多物體的受力關(guān)系往往比較復(fù)雜需細(xì)心再細(xì)心．