Question

19．為確保行車安全，在高速公路的不同路段都會豎有限速指示牌．若有一段直行連接彎道的路段，其彎道半徑R為60m，彎道路面的傾斜角度θ為6°，最大靜摩擦力為壓力的μ=0.4倍．假定直行路段    的限速為120km/h，限速指示牌的可見視野為100m，駕駛員的操作反應(yīng)時間為2s，為保持平穩(wěn)減速，限定最大減速加速度為2.5m/s²．已知tan6°=0.1，g=10m/s²，試計算：（結(jié)果可用根號表示）
（1）要使車輪與路面之間的橫向摩擦力（即沿公路內(nèi)外兩側(cè)）等于零，則汽車轉(zhuǎn)彎時的車速為多大？
（2）彎道處指示牌應(yīng)標(biāo)注的限速為多少？
（3）至少應(yīng)該在彎道前多少距離處設(shè)置限速指示牌．

Answer 1

分析 （1）抓摩擦力為零，根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力求出汽車的速度．
（2）彎道處重力、支持力和靜摩擦力的合力恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（3）根據(jù)速度位移關(guān)系公式列式求解求解出減速位移和反應(yīng)時間內(nèi)的位移后結(jié)合幾何關(guān)系求解

解答 解：（1）汽車恰好沒有沿公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢時，汽車重力與路面支持力的合力恰好作為汽車轉(zhuǎn)彎所需向心力，則  mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故v=$\sqrt{gRtanθ}$=$\sqrt{10×60×0.1}$m/s≈7.74 m/s
（2）彎道最高車速時受力如圖所示，則
mg+F_fsinθ=F_Ncosθ
F_Nsinθ+F_fcosθ=m$\frac{v2}{R}$，
F_f=μF_N
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{312.5}$m/s≈17.7m/s=63.72 km/h
即指示牌應(yīng)標(biāo)注的限速為63 km/h．
（3）直行路段的限速v₂=120 km/h=33.3 m/s，v₁=17.7 m/s
由${{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2as$得，求得：s=159m，
反應(yīng)時間內(nèi)車通過的距離：l=v₂t=33.3×2m=66.6m
則x=159+66.6-100m=125.6m．
應(yīng)該在彎道前125.6m距離處設(shè)置限速指示牌．
答：（1）汽車轉(zhuǎn)彎時的車速為7.74m/s；
（2）彎道處指示牌應(yīng)標(biāo)注的限速為63km/h；
（3）至少應(yīng)該在彎道前125.6m處置限速指示牌．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵受力分析后，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式求解限速速度；同時結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行分析．