Question

16．如圖，質量為0.5kg的杯子里盛有1kg的水，用繩系住水杯在豎直平面內做“水流量”表演，轉動半徑為1m（杯子可視為質點）（g=10m/s²）
求：（1）若表演中繩子不松弛，則杯子在最高點的最小速度為多少？
   （2）水杯通過最高點的速度為5m/s，則在最高點時，繩的拉力大小和水對杯底的壓力？

Answer 1

分析 （1）表演中繩子恰好不松弛時，繩子的拉力為零，對杯子和水整體，由重力提供圓周運動的向心力．根據(jù)牛頓第二定律求出最小速度．
（2）以杯中水為研究對象，受到杯底對水的壓力和重力提供圓周運動向心力求得杯底對水的壓力，從而得到水對杯底的壓力．再對杯子和水整體為研究，由牛頓第二定律求繩子拉力．

解答 解：（1）表演中繩子恰好不松弛時，繩子的拉力為零，對杯子和水整體有：
  （M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，得最小速度  v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）在最高點時，以杯和水整體為研究對象，豎直方向受到重力和繩的拉力作用，合力提供圓周運動向心力，故有：
 （M+m）g+T=（M+m）$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得繩的拉力 T=（M+m）（ $\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=（1+0.5）（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）N=22.5N
以杯中水為研究對象，水受到杯底的壓力和重力的合力提供水隨杯圓周運動的向心力，故有：
  N+Mg=M$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得水受到杯底的壓力 N=M（$\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=1×（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）=15N，方向豎直向下．
根據(jù)牛頓第三定律知，水對杯底的壓力為15N，方向豎直向上．
答：
（1）若表演中繩子不松弛，則杯子在最高點的最小速度為$\sqrt{10}$m/s．
（2）水杯通過最高點的速度為5m/s，則在最高點時，繩的拉力大小和水對杯底的壓力分別為22.5N和15N．

點評 解決本題的關鍵是抓住在豎直面內圓周運動的最高點和最低點，物體所受豎直方向的合力提供圓周運動向心力．