Question

13．如圖1所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤，上面放置勁度系數(shù)為k=46N/m的彈簧，彈簧的一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m=1kg的小物塊A，物塊與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，開始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長度為l₀=0.5m，若最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，重力加速度g=10m/s²，物塊A始終與圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)．則：

（1）圓盤的角速度多大時(shí)，物塊A將開始滑動(dòng)？
（2）當(dāng)角速度緩慢地增加到4rad/s時(shí)，彈簧的伸長量是多少？（彈簧伸長在彈性限度內(nèi)且物塊未脫離圓盤）．
（3）在角速度從零緩慢地增加到4rad/s過程中，物塊與盤間摩擦力大小為f，試通過計(jì)算在坐標(biāo)系中如圖2作出f-ω²圖象．

Answer 1

分析 （1）物塊開始滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力，列式即可求得此時(shí)的加速度．
（2）分析此時(shí)受到的力，在水平方向上受摩擦力和彈簧的彈力，其合力提供向心力，設(shè)出彈簧的伸長量，列式即可求得彈簧的伸長量，
（3）分段分析物塊滑動(dòng)前摩擦力的表達(dá)式和滑動(dòng)后摩擦力的表達(dá)式，即可得知f-ω²圖象．

解答 解：（1）設(shè)盤的角速度為ω₀時(shí)，物塊A將開始滑動(dòng)，此時(shí)物塊的最大靜摩擦力提供向心力，則有：
μmg=m${ω}_{0}^{2}{l}_{0}$
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{μg}{{l}_{0}}}$=$\sqrt{\frac{0.2×10}{0.5}}$=2rad/s
（2）設(shè)此時(shí)彈簧的伸長量為△x，物塊受到的摩擦力和彈簧的彈力的合力提供向心力，則有：
μmg+k△x=mω²（l₀+△x）
代入數(shù)據(jù)解得：△x=0.2m
（3）在角速度從零緩慢地增加到2rad/s過程中，物塊與盤間摩擦力為靜摩擦力f=m${ω}_{0}^{2}{l}_{0}$，f∝ω²，f隨著角速度平方的增加而增大；
當(dāng)ω＞2rad/s時(shí)，物塊與盤間摩擦力為滑動(dòng)摩擦力為定值，為f=μmg=2N
答：（1）圓盤的角速度為2rad/s時(shí)，物塊A將開始滑動(dòng)．
（2）當(dāng)角速度緩慢地增加到4rad/s時(shí)，彈簧的伸長量是0.2m．
（3）在角速度從零緩慢地增加到4rad/s過程中，f-ω²圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)物體相對(duì)于接觸物體剛要滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是正確分析物體的受力情況．同時(shí)要明確向心力是沿半徑方向上的所有力的合力．