Question

18．如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)=4m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，AB、CD與兩圓弧形軌道相切于A、B、C、D點(diǎn)，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0=36J的初動(dòng)能從B點(diǎn)開始沿BA向上運(yùn)動(dòng)恰好能通過圓弧形軌道APD的最高點(diǎn)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.25，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）求圓弧形APD的半徑R為多少？
（2）求小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能夠通過圓弧APD的最高點(diǎn)時(shí)速度為零，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得圓弧形APD的半徑R．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球從B點(diǎn)出發(fā)又回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，根據(jù)動(dòng)能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點(diǎn)，由于重力的分力大于滑動(dòng)摩擦力，小球會(huì)下滑，求出小球在AB桿上摩擦產(chǎn)生的熱量．根據(jù)能量守恒求出第二次經(jīng)過D點(diǎn)的動(dòng)能．
（3）通過第二問解答知小球能夠第二次到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)能量守恒定律討論小球能否第二次通過D點(diǎn)返回后上升到B點(diǎn)，從而確定小球的運(yùn)動(dòng)情況，最后根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

解答 解：（1）小球恰好過弧形軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度為零．
從B到弧形軌道的最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：
-mg（R-Rcos θ）+Lsin θ]-μmgLcos θ=0-E_k0
解得：R=2m
（2）小球從B點(diǎn)出發(fā)到第一次回到B點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmgLcos θ-mgL=E_KB-E_k0
解得  E_KB=18J
小球沿BA向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，距離B點(diǎn)s
則有 E_KB=μmgscos θ+mgssin θ
解得 s=2.25m
小球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為E_KD
mg（r+rcos θ）+ssin θ]-μmgscos θ-μmgL=E_KD-0
解得 E_KD=17J
（3）小球第二次到D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為17J，沿DP弧上升后再返回DC段，到C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為7J．小球無法繼續(xù)上升到B點(diǎn)，滑到BQC某處后開始下滑，之后受到摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點(diǎn)，由動(dòng)能定理得，E_kD=μmgs₁
解得：s₁=6.8m．
小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程為  s=2L+s₁=14.8 m．
答：
（1）圓弧形APD的半徑R為2m．
（2）小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是17J；
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程是14.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題過程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過程，搞清運(yùn)動(dòng)規(guī)律，合適地選擇研究的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理和能量守恒定律進(jìn)行解題．