Question

2．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，把繩子拉直，繩子與豎直線夾角為60°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上．問：
（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T及桌面受到壓力N為多大？
（2）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T及桌面受到壓力N各為多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．根據(jù)角速度ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律求解繩子的張力

解答 解：（1）對(duì)小球受力分析，作出力圖如圖1．根據(jù)牛頓第二定律，得：
Tsin60°=mω²Lsin60°…①
mg=N+Tcos60°…②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$
解得：T=mg，N=$\frac{1}{2}mg$
（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)角速度為ω₀，即N=0
代入①②得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$＞ω₀，故小球離開桌面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則N=0此時(shí)小球的受力如圖2．設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：
mgtanθ=mω²•Lsinθ…③
mg=Tcosθ…④
聯(lián)立解得：T=3mg
答：（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T=mg，桌面受到壓力N=$\frac{1}{2}mg$；
（2）當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力為3mg，桌面受到的壓力為零．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關(guān)鍵，實(shí)質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)，難度適中．