Question

12．如圖所示，相距為d的狹縫P、Q間存在著方向始終與P、Q平面垂直、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且電場(chǎng)的方向按一定規(guī)律分時(shí)段變化．狹縫兩側(cè)均有磁感強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．某時(shí)刻從P平面處由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷為q的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力），粒子被加速后由A點(diǎn)進(jìn)入Q平面右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)，以半徑r₁做圓運(yùn)動(dòng)，此時(shí)電場(chǎng)的方向已經(jīng)反向，當(dāng)粒子由A₁點(diǎn)自右向左通過(guò)Q平面后，使粒子再次被加速進(jìn)入P平面左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)做圓運(yùn)動(dòng)，此時(shí)電場(chǎng)又已經(jīng)反向，粒子經(jīng)半個(gè)圓周后通過(guò)P平面進(jìn)入PQ狹縫又被加速，…．以后粒子每次通過(guò)PQ間都被加速．設(shè)粒子自右向左穿過(guò)Q平面的位置依次分別是A₁、A₂、A₃、…A_n…，求：
（1）粒子第一次在Q右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)做圓運(yùn)動(dòng)的半徑r₁的大�。�
（2）粒子第一次和第二次自右向左通過(guò)Q平面的位置A₁和A₂之間的距離；
（3）設(shè)A_n與A_n+1間的距離小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，則n值為多大？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子被電場(chǎng)加速，可以使用動(dòng)能定理求出它的速度，在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力，可以求出粒子的半徑；
（2）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解軌道半徑，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解A₁和A₂之間的距離；
（3）根據(jù)第二問(wèn)的原理求出第n次通過(guò)Q時(shí)的半徑和第n+1次通過(guò)Q時(shí)的半徑，根據(jù)A_n與A_n+1間的距離小于$\frac{{r}_{1}}{3}$列式求解即可．

解答 解：（1）帶電粒子被電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理：$qEd=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
洛倫茲力提供向心力：$Bq{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${r}_{1}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$
（2）帶電粒子第二次被電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理：$qRd=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
洛倫茲力提供向心力：$Bq{v}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：${r}_{2}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2×2qRd}{m}}$
同理，通過(guò)A₂時(shí)的半徑：${r}_{3}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{3×2qRd}{m}}=\sqrt{3}{r}_{1}$
所以：$\overline{{A}_{1}{A}_{2}}=2{r}_{3}-2{r}_{2}=2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$
（3）第n次通過(guò)Q時(shí)的半徑：${r}_{2n-1}=\sqrt{2n-1}{r}_{1}$
第n+1次通過(guò)Q時(shí)的半徑：${r}_{2n+1}=\sqrt{2n+1}{r}_{1}$
若A_n與A_n+1間的距離小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，即：${r}_{2n+1}-{r}_{2n-1}=\sqrt{2n+1}{r}_{1}-\sqrt{2n-1}{r}_{1}$$＜\frac{{r}_{1}}{3}$
得：$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}＜\frac{1}{3}$
當(dāng)n≥5時(shí)，滿足上面的條件．
答：（1）粒子第一次在Q右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)做圓運(yùn)動(dòng)的半徑r₁的大小為$\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$；
（2）粒子第一次和第二次自右向左通過(guò)Q平面的位置A₁和A₂之間的距離為$2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$；
（3）設(shè)A_n與A_n+1間的距離小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，則n值應(yīng)大于等于5．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是常用的方法，知道帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，難度適中．