Question

5．如圖所示為一遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）和它運(yùn)動(dòng)軌道示意圖．假設(shè)在某次演示中，賽車從A位置由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)2s后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后水平飛出，賽車能從C點(diǎn)無(wú)碰撞地進(jìn)入豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，D點(diǎn)和E點(diǎn)分別為圓形軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．已知賽車在水平軌道AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的恒定阻力為0.4N，賽車質(zhì)量
為0.4kg，通電時(shí)賽車電動(dòng)機(jī)的輸出功率恒為2W，B、C兩點(diǎn)間高度差為0.45m，C與圓心O的連線和豎直方向的夾角α=37°，空氣阻力忽略不計(jì)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）賽車通過C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）賽道AB的長(zhǎng)度；
（3）要使賽車能通過圓軌道最高點(diǎn)D后回到水平賽道EG，其半徑需要滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得豎直方向分速度，再由速度方向求得速度；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得在B點(diǎn)的速度，然后由動(dòng)能定理即可求得AB的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求得在D點(diǎn)的速度范圍，然后根據(jù)圓軌道上機(jī)械能守恒求得半徑范圍．

解答 解：（1）賽車在BC間做平拋運(yùn)動(dòng)，則賽車在C點(diǎn)的豎直方向分速度${v}_{y}=\sqrt{2gh}=3m/s$，那么，由賽車能從C點(diǎn)無(wú)碰撞地進(jìn)入豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道可知：賽車速度與圓弧軌道相切，故賽車在C點(diǎn)的速度${v}_{C}=\frac{{v}_{y}}{cos53°}=5m/s$；
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：賽車做平拋運(yùn)動(dòng)的水平方向分速度不變，即物體在B點(diǎn)的速度v_B=v_Csin53°=4m/s；
那么，由賽車在AB上運(yùn)動(dòng)只有牽引力、阻力做功，故由動(dòng)能定理可得：$Pt-f{L}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${l}_{AB}=\frac{Pt-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}}{f}=2m$；
（3）要使賽車能通過最高點(diǎn)D，那么有：$\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}≥mg$；
又有賽車在圓軌道上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR（1+cos37°）≥2.3mgR$，所以，$R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{4.6g}=\frac{25}{46}m$；
答：（1）賽車通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s；
（2）賽道AB的長(zhǎng)度為2m；
（3）要使賽車能通過圓軌道最高點(diǎn)D后回到水平賽道EG，其半徑$R≤\frac{25}{46}m$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．