Question

2．如圖所示，在xoy坐標(biāo)系的第一、二象限內(nèi)存在有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域是以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形內(nèi)，磁場(chǎng)的方向垂直于xoy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．第三、四象限存在方向沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子放在A（0，-d）點(diǎn)，靜止釋放該粒子，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)．粒子的重力不計(jì)．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀，求E₀；
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{2}{3}$ E₀，求粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）要使粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得      qEd=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，有          qvB=m$\frac{v^2}{r}$，
解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$．
（2）要使粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，
運(yùn)動(dòng)情況如圖①，由幾何知識(shí)可得
R=$\sqrt{2}r$，
由以上各式解得  E₀=$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$．                        
（3）將E=$\frac{2}{3}$E₀代入可得磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑   r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖②，圖中的角度α、β滿足
cosα=$\frac{\frac{R}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即α=30°．
則得  β=2α=60°           
所以  粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為   x=r+$\frac{r}{cosβ}$
解得x=$\sqrt{3}$R．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$．
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀為$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$．
（3）粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置為x=$\sqrt{3}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類型，運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和幾何知識(shí)結(jié)合進(jìn)行解決．