Question

20．現(xiàn)有一顆質量為m的人造地球衛(wèi)星以半徑r₁的圓軌道環(huán)繞地球勻速飛行．已知地球質量為M，萬有引力常量為G．
（1）求：該衛(wèi)星運行的線速度．
（2）如果該衛(wèi)星做勻速圓周運動的軌道半徑增大為r₂，求：則衛(wèi)星上的發(fā)動機所消耗的最小能量．（假設衛(wèi)星質量始終不變，不計空氣阻力及其它星體的影響．物體在萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能．若取兩物體相距無窮遠時的引力勢能為零，一個質量為m₀的質點到質量為M₀的引力源中心的距離為r₀，其萬有引力勢能E_p=-G$\frac{{m}_{0}{M}_{0}}{{r}_{0}}$，式中G為引力常量．）

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律可以求出衛(wèi)星的線速度．
（2）求出衛(wèi)星的動能，然后應用能量守恒定律求出發(fā)電機做的功．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$；
（2）以衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)作為研究對象，根據能量守恒定律得：
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²+[-G$\frac{Mm}{{r}_{2}}$-（-G$\frac{Mm}{{r}_{1}}$）]，
解得：W=$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）；
答：（1）該衛(wèi)星運行的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$．
（2）衛(wèi)星上的發(fā)動機所消耗的最小能量為$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）．

點評 本題是一道信息給予題，認真審題，由題意獲取所需信息，應用萬有引力定律、牛頓第二定律與能量守恒定律可以解題，本題難度不大．