Question

8．傾角為α=37°無限長的斜面固定于地面上，有一可看成質(zhì)點(diǎn)的滑塊在斜面上的B點(diǎn)靜止，其質(zhì)量為M=4kg，M與斜面的動摩擦因數(shù)處處相等且為μ=0.8，另一質(zhì)量為2kg的滑塊m（下表面光滑）從離B距離為d=$\frac{25}{3}$m、且在B點(diǎn)上方的某點(diǎn)A由靜止下滑，然后兩滑塊發(fā)生極短時間的碰撞，碰后分離，且M的速率是m的兩倍，已知重力加速度為g=10m/s²．試求：
（1）碰撞過程中損失的機(jī)械能E；
（2）M與m發(fā)生第二次碰撞的地點(diǎn)離B靜止的位置多遠(yuǎn)？（計算結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求出滑塊m與M第一碰撞前瞬間的速度．再根據(jù)動量守恒定律求出碰后兩者的速度，即可由能量守恒定律求碰撞過程損失的機(jī)械能．
（2）第一次碰撞后與第二次碰撞的過程中，兩者通過的位移相等，根據(jù)牛頓第二定律求出各自的加速度，由位移公式求出時間，再由位移公式求第二次碰撞的地點(diǎn)離B靜止的位置．

解答 解：（1）設(shè)m與M第一碰撞前瞬間的速度為v0．碰撞后瞬間m與M的速度分別為v₁和v₂．
對m下滑過程，由動能定理得：mgdsin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v₀=10m/s
對于碰撞過程，取沒斜面向下為正方向．
第一情況：若碰后兩者同向運(yùn)動，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=mv₁+Mv₂．
據(jù)題有：v₂=2v₁．
聯(lián)立解得：v₁=1m/s，v₂=2m/s
碰撞過程中損失的機(jī)械能為：E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₂²．
代入數(shù)據(jù)解得：E=91J
第二種情況：若碰后兩者反向運(yùn)動，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=Mv₂-mv₁
據(jù)題有：v₂=2v₁．
聯(lián)立解得：v₁=$\frac{10}{3}$m/s，v₂=$\frac{20}{3}$m/s
碰撞過程中損失的機(jī)械能為：E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₂²．
代入數(shù)據(jù)解得：E=0J
（2）碰撞后，m的加速度為：a₁=$\frac{mgsin37°}{m}$=gsin37°=6m/s²．
M的加速度為：a₂=$\frac{Mgsin37°-μMgcos37°}{M}$
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=-0.4m/s²．
設(shè)第一次碰后經(jīng)過時間t發(fā)生第二次碰撞．
第一種情況：根據(jù)位移關(guān)系得：
v₂t+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：t=$\frac{5}{16}$s
M勻減速至停止運(yùn)動的時間為：t′=$\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{-2}{-0.4}$=5s＞t
所以t是合理的．
M與m發(fā)生第二次碰撞的地點(diǎn)離B靜止的位置距離為：S=v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：S=$\frac{235}{256}$m
第二種情況：取沿斜面向下為正方向，則有：
v₂t+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=-v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：t=$\frac{15}{16}$s＜t′
所以t是合理的．
M與m發(fā)生第二次碰撞的地點(diǎn)離B靜止的位置距離為：S′=-v₁t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：S=$\frac{435}{256}$m
答：（1）碰撞過程中損失的機(jī)械能E是91J或0J；
（2）M與m發(fā)生第二次碰撞的地點(diǎn)離B靜止的位置距離為$\frac{235}{256}$m或$\frac{435}{256}$m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是要正確分析物體的運(yùn)動過程，把握碰撞的基本規(guī)律：動量守恒定律，要注意速度的方向，不能漏解．