Question

4．如圖所示，質(zhì)量M=1kg、長度L=0.72m的木板靜止在水平地面上，其上表面右端靜置一個質(zhì)量m=2kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），小滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2．今用一大小F=12N的水平拉力向右拉木板，使木板開始運(yùn)動，經(jīng)過一段時(shí)間撤去拉力，結(jié)果滑塊恰好不會脫離木板，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）拉力的作用時(shí)間t₁．
（2）滑塊最終停在木板上的位置距木板左端多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）在拉力作用下，M向右做勻加速運(yùn)動，m在摩擦力作用力，也向右做勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律分別求出兩個物體的加速度，由位移公式求出時(shí)間t₁內(nèi)的位移．撤去拉力F后，m繼續(xù)向右勻加速運(yùn)動，M向右勻減速運(yùn)動，由速度時(shí)間公式求出兩者達(dá)到共速的時(shí)間，由速度位移關(guān)系公式求兩者的位移．達(dá)到共同速度后，M、m均做勻減速運(yùn)動，由于m的加速度較小，故M先停下．滑塊恰好不會脫離木板時(shí)，木板與滑塊的相對位移等于板長L，由此列式，可求得時(shí)間t₁．
（2）達(dá)到共同速度后，M、m均做勻減速運(yùn)動，由于m的加速度較小，故M先停下．根據(jù)牛頓第二定律分別求出兩者的加速度．由速度位移公式求出兩者勻減速運(yùn)動的位移，由幾何關(guān)系求滑塊最終停在木板上的位置距木板左端的距離．

解答 解：（1）當(dāng)有拉力向右運(yùn)動時(shí)，m的合力等于其摩擦力，其最大加速度為：a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=1m/s²．
此時(shí)，對M有：F-μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂．
解得：a₂=4m/s²．
可見，m和M分別以加速度a₁、a₂做勻加速運(yùn)動．
經(jīng)時(shí)間t₁，m的速度為：v₁=a₁t₁，①
位移為：x_m1=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$   ②
M的速度為：v₂=a₂t₁，③
位移為：x_M1=$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{1}$   ④
撤去拉力后，m繼續(xù)加速運(yùn)動，其加速度仍為a₁，M做減速運(yùn)動，其加速度大小為：a₂′=$\frac{{μ}_{1}mg+{μ}_{2}（M+m）g}{M}$  ⑤
代入數(shù)據(jù)解得：a₂′=8m/s²．
設(shè)經(jīng)時(shí)間t₂達(dá)到共同速度v，則對m有：
      v=v₁+a₁t₂；⑥
    x_m2=$\frac{{v}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$ ⑦
對M有：v=v₂-a₂′t₂；⑧
    x_M2=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}′}$ ⑨
達(dá)到共同速度后，M、m均做減速運(yùn)動，但m的加速度較小，故M先停下，即恰好不脫離時(shí)達(dá)到共同速度，則有：
   x_M2+x_M1-x_m1-x_m2=L （10）
聯(lián)立①到（10）式解得：t₁=0.6s
（2）由上可得，共同速度v=0.8m/s，達(dá)到共同速度后，m、M均做勻減速運(yùn)動，且M先停下，其位移分別為x₃、x₄．
m的加速度大小為：a₃=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=1m/s²．
停下時(shí) x₃=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$
M的加速度大小為：a₄=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g-{μ}_{1}mg}{M}$=4m/s²．
停下時(shí) x₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$
則停下時(shí)，m在M上距左端距離為△x=x₃-x₄．
代入數(shù)據(jù)解得：△x=0.24m
答：（1）拉力的作用時(shí)間t₁是0.6s．
（2）滑塊最終停在木板上的位置距木板左端0.24m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清滑塊和木板的運(yùn)動情況，抓住臨界狀態(tài)：速度相等，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式靈活求解，掌握整體法和隔離法的運(yùn)用．