Question

4．如圖所示為一電磁選礦、傳輸一體機的傳送帶示意圖，已知傳送帶由電磁鐵組成，位于A輪附近的鐵礦石被傳送帶吸引后，會附著在A輪附近的傳送帶上，被選中的鐵礦石附著在傳送帶上與傳送帶之間有恒定的電磁力作用且電磁力垂直于接觸面，且吸引力為其重力的1.4倍，當有鐵礦石附著在傳送帶上時，傳送帶便會沿順時針方向轉動，并將所選中的鐵礦石送到B端，由自動卸貨裝置取走．已知傳送帶與水平方向夾角為53°，鐵礦石與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.5，A、B兩輪間的距離為L=64m，A、B兩輪半徑忽略不計，g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若傳送帶以恒定速率v₀=10m/s傳動，求被選中的鐵礦石從A端運動到B所需要的時間；
（2）若所選鐵礦石質量為200kg，求在（1）條件下鐵礦石與傳送帶之間產(chǎn)生的熱量；
（3）實際選礦傳送帶設計有節(jié)能系統(tǒng)，當沒有鐵礦石附著傳送帶時，傳送帶速度幾乎為0，一旦有鐵礦石吸附在傳送帶上時，傳送帶便會立即加速啟動，要使鐵礦石最快運送到B端，傳送帶的加速度至少為多大？并求出最短時間．

Answer 1

分析 （1）物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿斜面向上的滑動摩擦力，物體由靜止開始加速下滑，當物體加速至與傳送帶速度相等時，物體做勻速直線運動，由此求出時間，然后求出兩段時間的和即可；
（2）根據(jù)摩擦生熱特點可知Q=f△s即可求出；
（3）只有鐵礦石一直加速運動到B點時，所用時間才會最短，根據(jù)問題（1）的加速度，由位移公式即可求出．

解答 解：（1）當傳送帶勻速向上傳動時，對鐵礦石受力分析如圖所示，鐵礦石受到沿傳送帶向上的摩擦力、重力、吸引力和支持力作用，根據(jù)牛頓第二定律可得
沿傳送帶方向f-mgsinθ=ma 
垂直傳送帶方向：N-mgcosθ-F=0
其中f=μN
解得：a=2 m/s²
則鐵礦石運動則與傳送帶速度相等所需要的時間為：
t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{10}{2}=5$s 
對應的位移為：
x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{5}^{2}$=25m 
根據(jù)以上計算可知，鐵礦石在傳送帶上受到的滑動摩擦力大于鐵礦石重力沿傳送帶方向的分力，所以當鐵礦石的速度與傳送帶速度相等以后，鐵礦石會隨傳送帶勻速運動到B端，則其勻速運動時間為：
t₂=$\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{64-25}{10}$=3.9s
所以鐵礦石從傳送帶的A端運動到B端所需要的時間為：t=t₁+t₂=8.9s
（2）鐵礦石與傳送帶之間滑動時有熱量產(chǎn)生，當鐵礦石與傳送帶相對靜止時，沒有熱量產(chǎn)生．由以上計算可知鐵礦石與傳送帶之間的相對運動距離為：
△s=v₀t₁-x₁=25m
根據(jù)摩擦生熱特點可知Q=f△s
解得：Q=5×10⁴J
（3）只有鐵礦石一直加速運動到B點時，所用時間才會最短，根據(jù)問題（1）分析可知，鐵礦石在傳送帶上的最大加速度是2m/s²，所以傳送帶的最小加速度為：
α_min=2m/s² 
則有：L=$\frac{1}{2}$at² 
代入數(shù)據(jù)解得最短時間為：t'=8s
答：（1）若傳送帶以恒定速率v₀=10m/s傳動，被選中的鐵礦石從A端運動到B所需要的時間是3.9s；
（2）若所選鐵礦石質量為200kg，在（1）條件下鐵礦石與傳送帶之間產(chǎn)生的熱量是5×10⁴J；
（3）要使鐵礦石最快運送到B端，傳送帶的加速度至少為2m/s²，最短時間是8s．

點評 從上述例題可以總結出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．