Question

10．如圖所示為一傳送帶，豎直光滑圓弧軌道ABC半徑R=1m，O為圓心，圓心角為127°，傳送帶DE與水平方向的夾角為θ=30°，長為L=4m．圓弧軌道的末端C點有一段小圓弧與傳送帶D點相切，現(xiàn)從與O點等高處的A點無初速度釋放一物體，經(jīng)圓弧軌道由C點滑上傳送帶，假設(shè)物體由圓弧軌道滑上傳送帶的速度不變，物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．
（1）若傳送帶不動，那么物體能否到達E點．
（2）若傳送帶以5m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，求物體從D點到達E點的時間．
（3）要想盡快地從D點到達E點，傳送帶的速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機械能守恒定律求出物體到達C點時的速度，再由動能定理求解物體沿傳送帶上滑的最大高度，即可作出判斷．
（2）物體在傳送帶上受到重力、支持力和摩擦力作用先做勻加速直線運動，當速度和傳送帶速度一樣時開始做勻速運動（是否能勻速需要進行判斷），根據(jù)總位移為4m，可以求出整個運動過程的時間t．
（3）當物體一直做勻加速運動時，從D到E的時間最短，根據(jù)速度位移公式求解．

解答 解：（1）從A到C，由機械能守恒得：mgRcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=4m/s
物體在傳送帶上滑的過程，設(shè)上滑的最大距離為S，由動能定理得：-mgSsin30°-μmgcos30°•S=0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 S=0.64m＜L=4m，故物體不能到達E點．
（2）若傳送帶以5m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，物體先作勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律可得：
此時物體的加速度 a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=2.5m/s²；
速度增大至與傳送帶相同所用時間 t₁=$\frac{{v}_{帶}-{v}_{C}}{{a}_{1}}$=$\frac{5-4}{2.5}$s=0.4s
此過程通過的位移 x₁=$\frac{{v}_{C}+{v}_{帶}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4+5}{2}×$0.4m=1.8m
由于μmgcos30°＞mgsin30°，所以物體速度與傳送帶相同后與傳送帶一起做勻速運動，所用時間 t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{帶}}$=$\frac{4-1.8}{4}$s=0.55s
故物體從D點到達E點的時間 t=t₁+t₂=0.95s
（3）當物體一直做勻加速運動時，從D到E的時間最短，設(shè)傳送帶的最小速度為v．則有
  v²-${v}_{C}^{2}$=2aL
可得 v=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+2aL}$=$\sqrt{{4}^{2}+2×2.5×4}$=6m/s
答：（1）若傳送帶不動，那么物體不能到達E點．
（2）若傳送帶以5m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，物體從D點到達E點的時間為0.95s．
（3）要想盡快地從D點到達E點，傳送帶的速度至少為6m/s．

點評 該題目的關(guān)鍵就是要正確分析各段物體所受摩擦力的大小和方向，并對物體加速到與傳送帶有相同速度時，是否已經(jīng)到達傳送帶頂端進行判斷．