Question

16．如圖所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發(fā)，經(jīng)過時間t后關閉電動機，賽車繼續(xù)前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到的阻力恒為車重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5，賽車的質量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=20W工作，軌道AB的長度足夠長，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，重力加速度g取10m/s²．某次比賽，要求賽車以最大的速度進入軌道，則在此條件下，求：
（1）賽車最大速度是多少？
（2）賽車以最大速度到達軌道B點時，對軌道的壓力是多大？賽車以此速度能否完成圓軌道運動？
（3）賽車在CD軌道將滑行多少距離才能停下．

Answer 1

分析 （1）當賽車的牽引力等于阻力時，速度達到最大，根據(jù)功率和阻力的大小求出最大速度的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出賽車在圓軌道B點所受的支持力，從而得出賽車對軌道的壓力大小．根據(jù)機械能守恒定律求出P點的速度，結合P點的最小速度判斷能否完成圓軌道運動．
（3）C點的速度等于B點的速度，結合動能定理求出賽車在CD軌道將滑行的距離．

解答 解：（1）賽車功率恒定，當F=F_f時，v達最大  又因為F_f=kmg
故有P=Fv=F_f v_max 
代入數(shù)據(jù)得v_max=10 m/s．    
（2）賽車到達B點時，開始做圓周運動，對B點有
F_N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
v_B=v_max=10 m/s
代入數(shù)據(jù)解得F_N′=F_N=84 N   
賽車能夠完成圓軌道運動，要求其到最高點時的速度不能小于臨界速度v₀
恰好過最高點時     mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$ m/s
設以最大速度到最高點速度為v_P，根據(jù)機械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{{v}_{max}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得v_P=4$\sqrt{5}$ m/s＞$\sqrt{5}$ m/s      
所以賽車可以以最大速度進入軌道而完成圓軌道運動．
（3）由于圓軌道光滑，故有v_C=v_B=10 m/s
設小車在CD軌道上運動的距離為x，
由動能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$$m{{v}_{C}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得x=10 m．
答：（1）賽車最大速度為10m/s；
（2）賽車以最大速度到達軌道B點時，對軌道的壓力是84N，賽車以此速度能完成圓軌道運動．
（3）賽車在CD軌道將滑行10m距離才能停下．

點評 本題考查了動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及最高點的臨界情況是解決本題的關鍵．