Question

5．如圖所示，固定斜面傾角θ=30°，輕繩一端通過兩個滑輪與放在斜面上的物塊P相連接，另一端固定在天花板上，不計繩與滑輪的摩擦及滑輪的質(zhì)量．已知物塊P的質(zhì)量為m，在動滑輪上掛上物塊Q后，連接物塊的輕繩與斜面平行，當動滑輪兩側(cè)輕繩的夾角α=60°時，物塊P、Q均保持靜止．
（1）若斜面光滑，求物塊Q的質(zhì)量m；
（2）如物塊P與斜面間的動摩擦因數(shù)μ恒為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，其間的最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，求物塊Q的質(zhì)量M應(yīng)滿足條件．

Answer 1

分析 （1）先對P受力分析，運用共點力平衡條件求出細線的拉力，再對Q受力分析，再次運用共點力平衡條件求Q的質(zhì)量；
（2）若斜面與P之間有摩擦力，當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向下時，繩子拉力最大，此時Q的質(zhì)量最大，當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向上時，繩子拉力最小，此時Q的質(zhì)量最小，根據(jù)共點力平衡條件求出繩子的最大拉力和最小拉力，再對Q受力分析，根據(jù)平衡條件求出質(zhì)量的范圍．

解答 解：（1）若斜面光滑，先對P受力分析，根據(jù)共點力平衡條件得：
繩子拉力T=$mgsin30°=\frac{1}{2}mg$
再對Q受力分析，Q受到兩根繩子的拉力以及重力作用，受力平衡，根據(jù)共點力平衡條件得：
2Tcos$\frac{α}{2}$=Mg
解得：M=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$
（2）若斜面與P之間有摩擦力，當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向下時，繩子拉力最大，此時Q的質(zhì)量最大，
當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向上時，繩子拉力最小，此時Q的質(zhì)量最小，
根據(jù)共點力平衡條件得：
T_max=mgsin30°+μmgcos30°=$\frac{3}{4}mg$，
${T}_{min}=mgsin30°-μmgcos30°=\frac{1}{4}mg$，
再對Q受力分析，Q受到兩根繩子的拉力以及重力作用，受力平衡，根據(jù)共點力平衡條件得：
2T_maxcos$\frac{α}{2}$=M_maxg，
2T_mincos$\frac{α}{2}$=M_ming，
解得：M_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}m$，M_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}m$
則物塊Q的質(zhì)量M應(yīng)滿足條件為$\frac{\sqrt{3}}{4}m≤M≤\frac{3\sqrt{3}}{4}m$．
答：（1）若斜面光滑，物塊Q的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{3}}{2}m$；
（2）如物塊P與斜面間的動摩擦因數(shù)μ恒為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，其間的最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，則物塊Q的質(zhì)量M應(yīng)滿足條件為$\frac{\sqrt{3}}{4}m≤M≤\frac{3\sqrt{3}}{4}m$．

點評 本題關(guān)鍵是先后對物體P、Q受力分析，根據(jù)共點力平衡條件，結(jié)合合成法或正交分解法列式求解，知道當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向下時，繩子拉力最大，此時Q的質(zhì)量最大，當摩擦力到達最大值且方向沿斜面向上時，繩子拉力最小，此時Q的質(zhì)量最�。�