Question

20．圖是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動(dòng)的金屬圓環(huán)相連接，金屬圓環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動(dòng)接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路．如圖是主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用它們的橫截面來(lái)表示．已知ab長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁，be長(zhǎng)度為L(zhǎng)₂，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．（只考慮單匝線圈） 
（1）線圈平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，試推導(dǎo)t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e₁的表達(dá)式；
（2）線圈平面處于與中性面成垂直時(shí)開始計(jì)時(shí)，如圖所示，試寫出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e₂的表達(dá)式：
（3）若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．（其他電阻均不計(jì)）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉(zhuǎn)動(dòng)線速度，根據(jù)E=BLv，求出導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而寫出瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）若從與中性面垂直位置開始計(jì)時(shí)，則應(yīng)為余弦表達(dá)式；
（3）先求出平均電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出平均電流，根據(jù)Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）電動(dòng)勢(shì)的峰值為：E_m=NBSω=NBL₁L₂ω，
θ=ωt，
則t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e₁表達(dá)式玩兒：e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）若從與中性面垂直位置開始計(jì)時(shí)，則瞬時(shí)表達(dá)式為：
e₂=NBL₁L₂ωcosωt．
（3）由閉合電路歐姆定律可知：I=$\frac{E}{R+r}$，
這里的E為線圈產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的有效值為：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{B{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$，
則線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱為：${Q}_{R}={I}^{2}RT$，
其中$T=\frac{2π}{ω}$，
所以：Q=$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．
答：（1）t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e₁表達(dá)式為e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e₂的表達(dá)式e₂=BL₁L₂ωcosωt
（3）線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)線圈與磁場(chǎng)相平行時(shí)，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大．求電荷量時(shí)，運(yùn)用交流電的平均值，求產(chǎn)生的熱能時(shí)，用交流電的有效值．