Question

2．如圖，MNQO為有界的豎直向下的勻強(qiáng)電場，ACB為光滑固定的半圓形軌道，圓形軌道半徑為R，AB為圓水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，C為半圓軌道的最低點(diǎn)（在電場中）．一質(zhì)量為m，電荷量為-q的帶電小球從A點(diǎn)正上方高H處由靜止釋放，并從A點(diǎn)沿切線進(jìn)入半圓軌道，不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g．
（1）若電場強(qiáng)度E₁=$\frac{mg}{q}$，求小球由釋放經(jīng)A到C的時(shí)間；
（2）電場強(qiáng)度E₂為多大時(shí)，小球恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)，且到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為零；
（3）若電場強(qiáng)度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿軌道到達(dá)B點(diǎn)，求H應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)前是自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式列式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)速度公式求解末速度；從A到C過程，重力和電場力平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以求解時(shí)間；
（2）對從釋放到B點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可；
（3）要使小球能沿軌道到達(dá)B點(diǎn)，臨界情況是到達(dá)B點(diǎn)的速度為零，對從釋放點(diǎn)到B點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可．

解答 解：（1）小球自由落體運(yùn)動(dòng)過程：H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，解得：t₁=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
A點(diǎn)速度：v_A=gt₁=$\sqrt{2gH}$；
從A到C過程，重力等于電場力，平衡，故球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)間：t₂=$\frac{πR}{{v}_{A}}$=$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
故從釋放到C點(diǎn)的時(shí)間愛你為：t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）對從釋放到C點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mgH-qE₂R=0
解得：E₂=$\frac{mgH}{qR}$；
（3）對從釋放到C點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mgH₀-q$\frac{E_2}{2}$R=0
解得：H₀=$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
故要使小球能沿軌道到達(dá)B點(diǎn)，應(yīng)該滿足H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
答：（1）若電場強(qiáng)度E₁=$\frac{mg}{q}$，小球由釋放經(jīng)A到C的時(shí)間為$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）電場強(qiáng)度E₂為$\frac{mgH}{qR}$時(shí)，小球恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)，且到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為零；
（3）若電場強(qiáng)度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿軌道到達(dá)B點(diǎn)，H應(yīng)滿足的條件為H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，要多次結(jié)合動(dòng)能定理列式求解，不難．