Question

6．在地面上方某處足夠大的真空室里存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，分別以水平向右、豎直向下和垂直紙面向里為x軸、y軸和z軸正方向，建立如圖所示的三維直角坐標(biāo)系（z軸未畫(huà)出）．一質(zhì)量為m、帶負(fù)電、電荷量為q的微粒從點(diǎn)P（l，0，0）由靜止釋放后沿直線PQ運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t微粒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q（0，$\sqrt{3}$l，0），不計(jì)相對(duì)論效應(yīng)．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E和重力加速度g的大小；
（2）若從P點(diǎn)以某一速度拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{t}{2}$微粒恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，求微粒經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)動(dòng)能E_k；
（3）若撤去電場(chǎng)，加上沿y軸正方向、磁感強(qiáng)度大小為B、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該微粒改為從O點(diǎn)沿x軸正方向以一定速度拋出，求微粒經(jīng)過(guò)y軸時(shí)離O點(diǎn)距離的可能值．

Answer 1

分析 （1）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，分別在x方向和y方向上求出加速度，由牛頓第二定律知兩個(gè)方向的加速度出分別由電場(chǎng)力和重力產(chǎn)生，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式從而求出兩個(gè)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度和重力加速度．
（2）從P點(diǎn)拋出一個(gè)微粒，則微粒做類斜拋運(yùn)動(dòng)，由斜拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求出到達(dá)O點(diǎn)的末速度，再由動(dòng)能定理求出末動(dòng)能．
（3）撤去電場(chǎng)，加上沿y軸正方向、磁感強(qiáng)度大小為B、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該微粒改為從O點(diǎn)沿x軸正方向以一定速度拋出，則微粒在豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向受洛侖茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．那么經(jīng)過(guò)y軸的值是整數(shù)個(gè)周期內(nèi)豎直方向的位移．

解答 解：（1）設(shè)微粒從P到Q的位移∠OPQ為θ根據(jù)幾何關(guān)系得：
S=$\sqrt{{l}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$，S=2l       ①
tanθ=$\frac{\sqrt{3}l}{l}$，θ=60°         ②
根據(jù)位移公式：S=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ③
根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的條件可得：qE=macosθ           ④
由以上①②③④得到：E=$\frac{2ml}{q{t}^{2}}$         ⑤
根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的條件可得：mg=masinθ            ⑥
由①②③⑥可得：g=$\frac{2\sqrt{3}l}{{t}^{2}}$    ⑦
（2）設(shè)拋出的速度為v₂，在x軸y軸的分速度為別為v_x、v_y，在豎直方向上做
豎直上拋運(yùn)動(dòng)．
2v_y=g×$\frac{g}{2}$   ⑧
在水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
l=v_x×$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}（\frac{t}{2}）^{2}$    ⑨
根據(jù)平行四邊形定則：v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$     ⑩
從P至P的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有qEl=E_k-$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$⑾
聯(lián)立以上幾式得：E_k=$\frac{7m{l}^{2}}{2{t}^{2}}$⑿
（3）設(shè)拋出的速度為v₃，水平方向合力是洛侖茲力，豎直方向合力是重力，
可知微粒在水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)．
水平面內(nèi)，根據(jù)牛頓第二定律：qBv₃=$\frac{m{{v}_{3}}^{2}}{R}$　　　
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πR}{{v}_{3}}$⒁
豎直方向，與y軸交點(diǎn)O的距離為y，
則y=$\frac{1}{2}g（nT）^{2}$   （n=1，2，3…）⒂
由以上幾式聯(lián)立得：y=$\frac{4\sqrt{3}{π}^{2}{n}^{2}{m}^{2}l}{{q}^{2}{B}^{2}{t}^{2}}$    （n=1，2，3…）
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{2ml}{q{t}^{2}}$、重力加速度g的大小為$\frac{2\sqrt{3}l}{{t}^{2}}$．
（2）若從P點(diǎn)以某一速度拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{t}{2}$微粒恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，則微粒經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)動(dòng)能E_k為$\frac{7m{l}^{2}}{2{t}^{2}}$．
（3）若撤去電場(chǎng)，加上沿y軸正方向、磁感強(qiáng)度大小為B、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該微粒改為
從O點(diǎn)沿x軸正方向以一定速度拋出，則微粒經(jīng)過(guò)y軸時(shí)離O點(diǎn)距離的可能值為$\frac{4\sqrt{3}{π}^{2}{n}^{2}{m}^{2}l}{{q}^{2}{B}^{2}{t}^{2}}$ （n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是帶電微粒受三個(gè)力作用在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)微粒做好受力分析是關(guān)鍵，受力決定于在三維坐標(biāo)中的運(yùn)動(dòng)情況．