Question

1．如圖所示，物體A、B、C的質(zhì)量均為1kg，其中B、C分別與輕質(zhì)彈簧的兩端連接在一起，將它們靜置在地面上，現(xiàn)讓A從B正上方5m高處又靜止下落，A與B相碰，碰撞時(shí)間極短．相碰后兩者立即粘在一起向下運(yùn)動(dòng)，以后不再分開．當(dāng)A與B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧剛好恢復(fù)到原長，不計(jì)空氣阻力，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，彈簧勁度系數(shù)k=6N/m，重力加速度取10m/s²．
（1）求A與B相碰后一起向下運(yùn)動(dòng)的最大位移；
（2）若A與B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對地面剛好無壓力，則A應(yīng)從距B多高處釋放？
（3）若A從第（2）問的高度由靜止釋放，A與B相碰后一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連．求A與B相碰后第一次運(yùn)動(dòng)到的最高點(diǎn)與釋放點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）由共點(diǎn)力的平衡求出彈簧的伸長量，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)求出速度最大時(shí)的伸長量，然后結(jié)合簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，即可求出最大位移．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出A與B碰前的速度，然后由動(dòng)量守恒定律求出碰后的共同速度，然后分別對兩個(gè)過程使用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒即可解答．
（3）在不粘連的情況下，由分離的條件，先計(jì)算出分離時(shí)的速度，然后又機(jī)械能守恒求出分離后A上升的高度，最后即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）A與B碰撞前彈簧的壓縮量△x₁，則：$△{x}_{1}=\frac{mg}{k}$=$\frac{1×10}{6}=\frac{5}{3}$m
碰撞后A與B一起向下運(yùn)動(dòng)，隨彈力的增大，二者向下的加速度減小，當(dāng)彈簧的彈力與重力大小相等時(shí)，速度達(dá)到最大，此時(shí)：
2mg=k△x₂
得：$△{x}_{2}=\frac{2mg}{k}=\frac{2×1×10}{6}=\frac{10}{3}$m
由于A與B在彈簧上做簡諧運(yùn)動(dòng)，所以可知該簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅：A=△x₂=$\frac{10}{3}$m
A與B碰撞后向下的最大位移：$x=2A-△{x}_{1}=2×\frac{10}{3}-\frac{5}{3}=5$m
（2）設(shè)物體A碰前速度為v₁，對物體A從H₀高度處自由下落，
由機(jī)械能守恒定律得：MgH₀=$\frac{1}{2}$Mv₁²，解得：v₁=$\sqrt{2g{H}_{0}}$．
設(shè)A、B碰撞后共同速度為v₂，則由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₁=2Mv₂，v₂=$\sqrt{\frac{g{H}_{0}}{2}}$．
A與B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對地面剛好無壓力，則C受到的彈簧的拉力與C的重力大小相等，方向相反，即：F_C=mg
此時(shí)彈簧的伸長量：$△{x}_{3}=\frac{{F}_{C}}{k}=\frac{mg}{k}=△{x}_{1}$，所以此時(shí)彈簧的彈性勢能與剛剛碰撞時(shí)彈簧的彈性勢能是相等的；
A與B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)上升的高度：$△h=△{x}_{1}+△{x}_{3}=2△{x}_{1}=\frac{10}{3}$m
以開始時(shí)B的位置處為重力勢能的0勢能點(diǎn)，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=0+{E}_{P}+2mg•△h$
得：${v}_{2}=\sqrt{2g△h}$
所以：${H}_{0}=4△h=4×\frac{10}{3}=\frac{40}{3}$m
（3）若不粘連A與B相碰后將在向上運(yùn)動(dòng)的過程中二者分離，分離時(shí)，二者的速度和加速度都相等，二者之間的作用力恰好等于0，所以分離后A只受到重力的作用，加速度的大小為g．則B的加速度也是g，所以分離時(shí)，彈簧恰好處于原長的狀態(tài)．
以開始時(shí)B的位置處為重力勢能的0勢能點(diǎn)，碰撞后此后A與B運(yùn)動(dòng)的過程中，A第一種情況下，A與B到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的長度等于原長，則彈性勢能為0，所以：
A下降的過程中機(jī)械能守恒，得：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁₀²，
解得：v₁₀=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×5}=10$m/s
設(shè)A、B碰撞后共同速度為v₂₀，則由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₁₀=2Mv₂₀，
v₂₀=$\frac{1}{2}{v}_{10}=5$m/s
$\frac{1}{2}•2m{v}_{20}^{2}+{E}_{P}+0=0+0+2mg•△{x}_{1}$，
代入數(shù)據(jù)得：${E}_{P}=\frac{25}{3}$J
第2中情況下，碰撞后此后A與B運(yùn)動(dòng)的過程中，A、B與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)二者分離時(shí)，彈簧的長度等于原長，則彈性勢能為0，設(shè)此時(shí)二者的速度為v，得：$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+0+2mg•△{x}_{1}$，
代入數(shù)據(jù)整理得：$v=5\sqrt{\frac{5}{3}}$m/s
A與B分離后向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，升高的高度：$H=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{\frac{125}{3}}{2×10}=\frac{125}{60}$m
A與B相碰后第一次運(yùn)動(dòng)到的最高點(diǎn)與釋放點(diǎn)之間的距離：$△H={H}_{0}-H-△{x}_{1}=\frac{40}{3}-\frac{125}{60}-\frac{5}{3}=\frac{125}{12}$m
答：（1）A與B相碰后一起向下運(yùn)動(dòng)的最大位移是5m；
（2）若A與B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對地面剛好無壓力，則A應(yīng)從距B$\frac{40}{3}$m高處釋放；
（3）A從第（2）問的高度由靜止釋放，A與B相碰后一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連．A與B相碰后第一次運(yùn)動(dòng)到的最高點(diǎn)與釋放點(diǎn)之間的距離是$\frac{125}{12}$m．

點(diǎn)評 該題涉及的運(yùn)動(dòng)過程比較多，一定要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓定律、平衡條件即可正確解題．