Question

7．一段凹槽A內(nèi)側(cè)之間的距離為l，倒扣在水平長(zhǎng)木板C上，槽內(nèi)有一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小物塊B，它緊貼槽A內(nèi)的左側(cè)，如圖所示，木板位于光滑水平的桌面上，槽與木板間的摩擦不計(jì)，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．B、C二者質(zhì)量相等，原來(lái)都靜止，現(xiàn)使B以大小為v₀的初速度向右運(yùn)動(dòng)，已知v₀＜$\sqrt{2μgl}$．求：

（1）在A、B發(fā)生碰撞前，B、C能否達(dá)到共同速度？
（2）從B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A、B發(fā)生碰撞的時(shí)間內(nèi)，木板C運(yùn)動(dòng)的位移？

Answer 1

分析 （1）槽與木板間的摩擦不計(jì)，因此B在C上滑動(dòng)時(shí)，槽A不動(dòng)，B向右勻減速、C向右勻加速．根據(jù)動(dòng)能定理求出速度相等時(shí)B的位移，判斷出是否與A發(fā)生碰撞．
（2）B、C達(dá)到共同速度后，B、C一起勻速運(yùn)動(dòng)，然后B與A的右端發(fā)生碰撞，根據(jù)動(dòng)能定理求出C的位移．

解答 解：（1）槽與木板間的摩擦不計(jì)，因此B在C上滑動(dòng)時(shí)，槽A不動(dòng)，B向右勻減速、C向右勻加速．
由a=$\frac{F}{m}$，因?yàn)锽、C二者質(zhì)量相等，設(shè)為m，故它們的加速度大小相等．
用v₁表示它們的共同速度，
則對(duì)C：v₁=at     ①
則對(duì)B：v₁=v₀-at  ②
設(shè)B、C達(dá)到共同速度時(shí)，B移動(dòng)的位移為x₁，對(duì)B由動(dòng)能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²  ③
解①②③得：x₁=$\frac{3{v}_{{0}^{2}}}{8μg}$    ④
根據(jù)題設(shè)條件v₀＜$\sqrt{2μgl}$，
可解得：x₁=$\frac{3}{4}$l＜l⑤
可見(jiàn)，B、C達(dá)到共同速度v₁時(shí)，B尚未與A發(fā)生碰撞．
（2）B、C達(dá)到共同速度后，B、C一起勻速運(yùn)動(dòng)（l-x₁）距離，B才能與A的右端發(fā)生碰撞．設(shè)C的速度由0增到v₁的過(guò)程中，C前進(jìn)的位移為x₂．對(duì)C由動(dòng)能定理得
μmgx₂=$\frac{1}{2}$mv₁²⑥
解得x₂=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$⑦
從B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A、B發(fā)生碰撞的時(shí)間內(nèi)，木板C運(yùn)動(dòng)的位移
x=x₂+（l-x₁）⑧
聯(lián)立④⑦⑧解得：x=l-$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$．
答：（1）已達(dá)到共同速度
（2）從B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A、B發(fā)生碰撞的時(shí)間內(nèi)，木板C運(yùn)動(dòng)的位移為l-$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵選擇好研究的過(guò)程，分析過(guò)程中有哪些力做功，然后列式求解，難度中等．