Question

13．如圖所示，abcd為光滑軌道，半徑R=0.4m的半圓形豎直軌道bcd與水平直軌道ab相切于b點(diǎn)，質(zhì)量m₁=0.2kg的小球A靜止在軌道上，另一質(zhì)量m₂=0.4kg的小球B與A等大，球B以初速度v₀與球A發(fā)生對(duì)心碰撞，已知兩球碰撞過程中沒有機(jī)械能損失，忽略一切阻力，g=10m/s²，求：
（1）若小球以速度v水平向右沖過b點(diǎn)后，在豎直軌道bcd運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，則滿足v滿足什么條件；
（2）求兩球碰后的速度大��；
（3）若碰后A、B兩球在豎直軌道bcd運(yùn)動(dòng)過程中均不脫離軌道，則B球的初速度v₀滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）若不能經(jīng)過最高點(diǎn)又不會(huì)脫離圓弧軌道，A、B最高只能運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的地方，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出過b點(diǎn)的速度即可；
若經(jīng)過最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出A球在最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒分析求出b點(diǎn)的速度；
（2）由動(dòng)量守恒定律結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出AB碰撞后的速度；
（3）由于A與B在碰撞后過b點(diǎn)的速度不同，需要結(jié)合前兩問的結(jié)論，依次進(jìn)行分析．

解答 解：（1）欲使小球運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓弧軌道，有兩種可能：
當(dāng)v較小時(shí)，A、B最高只能運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的地方
對(duì)小球，從碰后到與圓心等高的地方，由動(dòng)能定理有：
$-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.4}=2\sqrt{2}$m/s
當(dāng)v較大時(shí)，小球能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．討論恰好做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，對(duì)小球，從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
$mg=m•\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：v=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.4}=2\sqrt{5}$m/s
綜上所述，當(dāng)v≤$2\sqrt{2}$m/s或v$≥2\sqrt{5}$m/s時(shí)，小球在圓弧軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離圓弧軌道． 
（2）設(shè)碰撞后A的速度為v₁，B的速度為v₂，對(duì)A、B，碰撞過程中動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂
根據(jù)動(dòng)能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：v₁=$\frac{4}{3}{v}_{0}$，v₂=$\frac{1}{3}{v}_{0}$
（3）欲使小球運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓弧軌道，有三種可能，結(jié)合前兩問的結(jié)論可得：
Ⅰ、當(dāng)v₀較小時(shí)，A最高只能運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的地方，所以：${v}_{1}≤2\sqrt{2}$m/s
聯(lián)立得：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2}$m/s
Ⅱ、當(dāng)v₀較大時(shí)，A能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，B最高到與圓心等高的地方，則：${v}_{1}≥2\sqrt{5}$m/s，
同時(shí)：${v}_{2}≤2\sqrt{2}$m/s
則此時(shí)：$1.5\sqrt{5}m/s≤{v}_{0}≤6\sqrt{2}m/s$
Ⅲ、當(dāng)v₀很大時(shí)，A、B能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則：${v}_{2}≥2\sqrt{5}$m/s
則：v₀$≥6\sqrt{5}$m/s
答：（1）若小球以速度v水平向右沖過b點(diǎn)后，在豎直軌道bcd運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，則滿足滿足v≤$2\sqrt{2}$m/s或v$≥2\sqrt{5}$m/s；
（2）兩球碰后的速度大小分別為$\frac{4}{3}{v}_{0}$和$\frac{1}{3}{v}_{0}$；
（3）若碰后A、B兩球在豎直軌道bcd運(yùn)動(dòng)過程中均不脫離軌道，則B球的初速度v₀滿足的條件有三種：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2}$m/s或$1.5\sqrt{5}m/s≤{v}_{0}≤6\sqrt{2}m/s$或v₀$≥6\sqrt{5}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律、向心力公式的應(yīng)用，要知道小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力等．在解答第三問時(shí)要注意幾種不同的情況，盡可能必要漏項(xiàng)．