Question

3．宇宙中存在著這樣一種四星系統(tǒng)，這四顆星的質(zhì)量相等，遠離其他恒星，因此可以忽略其他恒星對它們的作用，四顆星穩(wěn)定地分布在一個正方形的四個頂點上，且均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，假設(shè)每顆星的質(zhì)量為m，正方形的邊長為L，每顆星的半徑為R，引力常量為G，則（　　）

• A． 每顆星做圓周運動的半徑為$\frac{1}{2}$L
• B． 每顆星做圓周運動的向心力為$\frac{{（{1+\sqrt{2}}）G{m^2}}}{{2{L^2}}}$
• C． 每顆星表面的重力加速度為$\frac{Gm}{R^2}$
• D． 每顆星做圓周運動的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$

Answer 1

分析 星體做勻速圓周運動的軌道半徑等于正方形對角線的一半．
根據(jù)萬有引力等于重力求出星體表面的重力加速度．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，列出等式求出星體勻速圓周運動的周期．

解答 解：A、由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑
   r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A錯誤；
B、星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：
F_合=$\frac{{Gm}^{2}}{{（\sqrt{2}L）}^{2}}$+2$\frac{{Gm}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$，故B錯誤，D正確；
C、根據(jù)萬有引力等于重力得：$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g
解得：g=$\frac{Gm}{R^2}$，故C正確；
故選：CD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．