Question

16．如圖甲所示，在半徑為R的圓往形區(qū)域內(nèi)存在方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場，根據(jù)麥克斯韋電磁理論，當(dāng)磁場均勻增加時，會在空間激發(fā)恒定的感生電場，其電場線是在水平面內(nèi)一系列沿順時針方向的同心圓，圓心與磁場區(qū)域的中心O重合．在半徑為r的圓周上，感生電場的電場強(qiáng)度大小處處相等，并且可以用E=$\frac{?}{2πr}$計算，式中?為由于磁場均勻變化而在半徑為r的圓周上產(chǎn)生的感生電動勢．
如圖乙所示，在圖甲的磁場區(qū)域內(nèi)，在光滑水平支撐面上放置一半徑為r（r＜R）的由絕緣材料制成的細(xì)圓環(huán)，圓心和磁場區(qū)域的中心O重合．細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，電荷量為+q（q＞0），且質(zhì)量和電荷量都均勻分布．在時間t₀內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度由0均勻增加到B₀，此后保持B₀不變．（假設(shè)圓環(huán)的電荷量保持不變，忽略圓環(huán)上電荷運(yùn)動時激發(fā)的磁場和相對論效應(yīng)）
（1）求時間t₀內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場的電場強(qiáng)度的大小E；
（2）磁場增強(qiáng)時圓環(huán)開始繞圓心O無摩擦地轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時的角速度大��；
（3）當(dāng)圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時，試判斷圓環(huán)上的電荷受到的洛倫茲力的方向，并求圓環(huán)中張力（或擠壓力）的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，結(jié)合題目給出的感生電場的電場強(qiáng)度公式，即可求解
（2）求出電荷所受電場力，然后運(yùn)用牛頓第二定律求出切向加速度，利用運(yùn)動學(xué)公式求出速度，再結(jié)合圓周運(yùn)動v=ωr求出角速度
（3）利用左手定則判斷洛倫茲力方向，運(yùn)用微元法求張力

解答 解：（1）導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，將產(chǎn)生感生電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感生電動勢為：${E}_{感}^{\;}$=$\frac{△B}{△t}S$=$\frac{{B}_{0}^{\;}}{{t}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$
時間${t}_{0}^{\;}$內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場的電場強(qiáng)度的大小$E=\frac{{E}_{感}^{\;}}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$
（2）細(xì)圓環(huán)等效為一個帶電量為q的帶電小球，所受的電場力$F=qE=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$
切向加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2m{t}_{0}^{\;}}$
經(jīng)過時間${t}_{0}^{\;}$，速度$v=a{t}_{0}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2m}$
角速度$ω=\frac{v}{r}=\frac{q{B}_{0}^{\;}}{2m}$
（3）由左手定則得，圓環(huán)上電荷所受洛倫茲力指向圓心；當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動，形成電流，電流在磁場中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場中受到的安培力有關(guān)．由題意可知環(huán)上各點(diǎn)所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環(huán)上取一小段作為研究對象，從而求出環(huán)中張力的大�。�在圓環(huán)上取△l=r△θ圓弧元，受力情況如圖所示．因轉(zhuǎn)動角速度ω而形成電流：$I=\frac{qω}{2π}$，電流元I△L所受的安培力$△F=I△l{B}_{0}^{\;}=\frac{rω}{2π}q{B}_{0}^{\;}△θ$
圓環(huán)法線方向合力圓弧元做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力，故：$2Tsin\frac{△θ}{2}+△F=△m{ω}_{\;}^{2}r$
當(dāng)△θ很小時，$sin\frac{△θ}{2}≈\frac{△θ}{2}$，故有$T△θ+\frac{rω}{2π}q{B}_{0}^{\;}△θ=\frac{m{ω}_{\;}^{2}r}{2π}△θ$
解得圓環(huán)中張力$T=\frac{rω}{2π}（mω-q{B}_{0}^{\;}）$
將（2）中ω代入上式
$T=-\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$（負(fù)號表示與圖示方向相反）
答：（1）求時間t₀內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場的電場強(qiáng)度的大小E為$\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$；
（2）磁場增強(qiáng)時圓環(huán)開始繞圓心O無摩擦地轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時的角速度大小$\frac{q{B}_{0}^{\;}}{2m}$；
（3）當(dāng)圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時，試判斷圓環(huán)上的電荷受到的洛倫茲力的方向，并求圓環(huán)中張力（或擠壓力）的大小為$\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$．

點(diǎn)評 考查電磁學(xué)與力學(xué)綜合運(yùn)用的內(nèi)容，掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，注意電場強(qiáng)度與電動勢的符號區(qū)別，第一問比較基礎(chǔ)，第三問有創(chuàng)新，比較新穎，難度較大．