Question

11．如圖所示，由n=100片相同薄板疊放成的柱體A，放在水平面上，每一薄板均為正方形，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=10cm，質(zhì)量為m=0.1kg．所有接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.09．重力加速度取g=10m/s²．試求：
（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范圍；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范圍；
（3）現(xiàn)在用硬質(zhì)薄尺快速擊打最下面一片薄板，僅使它立即獲得垂直于邊長(zhǎng)方向的水平速度，導(dǎo)致與A分離，在A的剩余部分靜止后再按同樣的要求擊打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分離為止，所有薄板獲得的最小總動(dòng)能之和是多少．（設(shè)A剩余部分僅在分離后才與桌面接觸）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式求出第一薄片受第二薄片的摩擦力，當(dāng)拉力大于摩擦力時(shí)，可以直接把A的最上方薄板水平拉出；
（2）根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式求出第100薄片上表面和下表面受到的摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（3）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式列式求解即可．

解答 解：（1）第一薄片受第二薄片的摩擦力為：f₀=μmg
F₁-f₀＞0
代入數(shù)據(jù)解出：F₁＞0.09N 
（2）第100薄片上表面受摩擦力為：f₁=99μmg
下表面受摩擦力為：f₂=100μmg
由牛頓第二定律，拉力F₂應(yīng)滿足：F₂-f₁-f₂＞ma₁
a₁是與A分離時(shí)A剩余部分的加速度為：a₁=μg，
代入數(shù)據(jù)解出：F₂＞18N 
（3）第n薄片獲速度最小v_n時(shí)，各層面摩擦因數(shù)均為μ，其余薄片相對(duì)靜止．
A的剩余部分加速度為：${a}_{1}=\frac{μ（n-1）mg}{（n-1）m}=μg$
第n薄片的加速度為：${a}_{2}=\frac{nμmg+μ（n-1）mg}{m}=（2n-1）μg$，
A做勻加速運(yùn)動(dòng)，第n薄片做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度相同時(shí)歷時(shí)為t，有：
v_n-a₂t=a₁t
與A分離的條件是：${v}_{n}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}≥\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+L$
聯(lián)立求解得最小速度：${v}_{n}=2\sqrt{nLμg}$
同理得，第（n-1）薄片獲最小速度：${v}_{n-1}=2\sqrt{（n-1）Lμg}$
第（n-N） 薄片獲最小速度：${v}_{n-N}=2\sqrt{（n-N）Lμg}$
這樣擊打了99次，最后獲動(dòng)能之和最小值為：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m（{{v}_{n}}^{2}+{v}_{n-1}^{2}+…+{v}_{n-N}^{2}）$
代入數(shù)據(jù)得：E_k=90.882J
答：（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范圍為F₁＞0.09N；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范圍為F₂＞18N；
（3）現(xiàn)在用硬質(zhì)薄尺快速擊打最下面一片薄板，僅使它立即獲得垂直于邊長(zhǎng)方向的水平速度，導(dǎo)致與A分離，在A的剩余部分靜止后再按同樣的要求擊打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分離為止，所有薄板獲得的最小總動(dòng)能之和是90.882J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式、牛頓第二定律以及動(dòng)能表達(dá)式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確對(duì)物體受力分析，知道A與剩余部分分離的條件，難度較大．