Question

11．如圖所示，由n=100片相同薄板疊放成的柱體A，放在水平面上，每一薄板均為正方形，邊長為L=10cm，質量為m=0.1kg．所有接觸面的動摩擦因數(shù)均為μ=0.09．重力加速度取g=10m/s²．試求：
（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范圍；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范圍；
（3）現(xiàn)在用硬質薄尺快速擊打最下面一片薄板，僅使它立即獲得垂直于邊長方向的水平速度，導致與A分離，在A的剩余部分靜止后再按同樣的要求擊打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分離為止，所有薄板獲得的最小總動能之和是多少．（設A剩余部分僅在分離后才與桌面接觸）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動摩擦力公式求出第一薄片受第二薄片的摩擦力，當拉力大于摩擦力時，可以直接把A的最上方薄板水平拉出；
（2）根據(jù)滑動摩擦力公式求出第100薄片上表面和下表面受到的摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（3）根據(jù)牛頓第二定律結合運動學基本公式列式求解即可．

解答 解：（1）第一薄片受第二薄片的摩擦力為：f₀=μmg
F₁-f₀＞0
代入數(shù)據(jù)解出：F₁＞0.09N 
（2）第100薄片上表面受摩擦力為：f₁=99μmg
下表面受摩擦力為：f₂=100μmg
由牛頓第二定律，拉力F₂應滿足：F₂-f₁-f₂＞ma₁
a₁是與A分離時A剩余部分的加速度為：a₁=μg，
代入數(shù)據(jù)解出：F₂＞18N 
（3）第n薄片獲速度最小v_n時，各層面摩擦因數(shù)均為μ，其余薄片相對靜止．
A的剩余部分加速度為：${a}_{1}=\frac{μ（n-1）mg}{（n-1）m}=μg$
第n薄片的加速度為：${a}_{2}=\frac{nμmg+μ（n-1）mg}{m}=（2n-1）μg$，
A做勻加速運動，第n薄片做勻減速運動，速度相同時歷時為t，有：
v_n-a₂t=a₁t
與A分離的條件是：${v}_{n}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}≥\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+L$
聯(lián)立求解得最小速度：${v}_{n}=2\sqrt{nLμg}$
同理得，第（n-1）薄片獲最小速度：${v}_{n-1}=2\sqrt{（n-1）Lμg}$
第（n-N） 薄片獲最小速度：${v}_{n-N}=2\sqrt{（n-N）Lμg}$
這樣擊打了99次，最后獲動能之和最小值為：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m（{{v}_{n}}^{2}+{v}_{n-1}^{2}+…+{v}_{n-N}^{2}）$
代入數(shù)據(jù)得：E_k=90.882J
答：（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范圍為F₁＞0.09N；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范圍為F₂＞18N；
（3）現(xiàn)在用硬質薄尺快速擊打最下面一片薄板，僅使它立即獲得垂直于邊長方向的水平速度，導致與A分離，在A的剩余部分靜止后再按同樣的要求擊打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分離為止，所有薄板獲得的最小總動能之和是90.882J．

點評 本題主要考查了運動學基本公式、牛頓第二定律以及動能表達式的直接應用，要求同學們能正確對物體受力分析，知道A與剩余部分分離的條件，難度較大．