Question

9．如圖所示，足夠長(zhǎng)絕緣直管道傾斜放置，管道與水平方向的夾角為θ．管內(nèi)放有一帶電小球，小球直徑略小于管道內(nèi)徑，小球質(zhì)量為m，帶電量為+q，與管道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，μ＜tanθ．整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于管道所在豎直面向外，如圖所示．現(xiàn)將小球由最高點(diǎn)靜止釋放，重力加速度為g，求：
（1）小球剛釋放時(shí)的加速度；
（2）當(dāng)小球的加速度最大時(shí)，速度為多大；
（3）小球運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，求小球從出發(fā)到速度最大過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)由靜止沿桿下滑，受到重力、支持力、摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律表示出加速度；
（2）小球下滑的過(guò)程中，受到重力、支持力、洛倫茲力、摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律表示出加速度，進(jìn)而分析出最大加速度，并結(jié)合受力分析求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的速度；
（3）根據(jù)受力分析求出速度最大滿足的條件，得出此時(shí)的速度大小，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求出小球從出發(fā)到速度最大過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）小球開始下滑時(shí)到重力、支持力、摩擦力，有：mgsinθ-μmgcosθ=ma，
所以：a=gsinθ-μgcosθ
（2）滑動(dòng)后還要受到洛倫茲力，由左手定則可知，洛倫茲力的方向垂直于桿向上，則：mgsinθ-μ（mgcosθ-qvB）=ma，
隨v增大，a增大，
 當(dāng)v=$\frac{mgcosθ}{qB}$時(shí)，a達(dá)最大值gsinθ；
（3）加速度最大時(shí)，洛倫茲力等于mgcosθ，支持力等于0，此后隨著速度增大，洛倫茲力增大，支持力垂直于桿向下增大．
此后下滑過(guò)程中有：mgsinθ-μ（qvB-mgcosθ）=ma，
隨v增大，a減小，當(dāng)${v}_{m}=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{μqB}$時(shí)，
a=0．此時(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)，速度不變．
由于洛倫茲力的方向始終與運(yùn)動(dòng)的方向垂直，所以下滑的過(guò)程中只有重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
$mgsinθ•L-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
所以：W_f=$mgL•sinθ-\frac{{m}^{3}{g}^{2}co{s}^{2}θ}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）小球剛釋放時(shí)的加速度是gsinθ-μgcosθ；
（2）當(dāng)小球的加速度最大時(shí)，速度為$\frac{mgcosθ}{qB}$；
（3）小球運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，求小球從出發(fā)到速度最大過(guò)程中克服摩擦力所做的功是$mgL•sinθ-\frac{{m}^{3}{g}^{2}co{s}^{2}θ}{2{q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況，結(jié)合加速度最大時(shí)，速度最�。凰俣茸畲髸r(shí)，加速度最小做出判斷即可．