Question

8．如圖所示，豎直放置的U形管的橫截面積均為S，內(nèi)裝密度為ρ的液體，ρg=0.1atm/m．右側(cè)管與大氣連通且足夠長(zhǎng)，且管內(nèi)有一質(zhì)量為m的活塞擱在固定卡口上，卡口位置與右管上端等高．開始時(shí)，左、右管內(nèi)液面高度相等，兩管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度均為l₀=1.0m，壓強(qiáng)均為大氣壓強(qiáng)p₀=1atm．現(xiàn)使兩邊氣體升高相同的溫度，平衡時(shí)左側(cè)管內(nèi)液面下降h=0.1m，此時(shí)右側(cè)管內(nèi)氣體長(zhǎng)度為1.12m．（已知：mg/S=0.01atm）

Answer 1

分析 先假設(shè)活塞不動(dòng)，可以求出右邊管內(nèi)氣體壓強(qiáng)，對(duì)左邊氣體有$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{1}^{′}}$，對(duì)右邊氣體$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{′}}$，列出體積關(guān)系和壓強(qiáng)關(guān)系，得出壓強(qiáng)無解，說明假設(shè)不成立；
活塞向上移，根據(jù)活塞的平衡條件求出右側(cè)氣體的壓強(qiáng)，由兩側(cè)水銀面的高度差求出左側(cè)氣體的壓強(qiáng)，再對(duì)左右兩側(cè)氣體分別運(yùn)用理想氣體狀態(tài)方程求右側(cè)氣體的長(zhǎng)度；

解答 解：假設(shè)活塞不動(dòng)
對(duì)左側(cè)氣體：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$①
對(duì)右側(cè)氣體：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{（{p}_{1}^{′}-ρg×0.2）0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$=$\frac{（{p}_{1}^{′}-0.02）×0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$②
聯(lián)立①②解得：${p}_{1}^{\;}=-0.09atm$不符合實(shí)際情況，所以活塞一定向上運(yùn)動(dòng)；兩個(gè)管子是完全相同的，升高相同的溫度，不可能一個(gè)壓強(qiáng)增大，一個(gè)壓強(qiáng)減小，如果活塞不動(dòng)的話，那么水銀柱是不會(huì)動(dòng)的，因?yàn)樗鼈儔簭?qiáng)變化量是相同的，正是因?yàn)闊o解說明這個(gè)狀態(tài)不存在，也即活塞向上運(yùn)動(dòng)；
以活塞為研究對(duì)象，活塞受到受到三力平衡，上面大氣的壓力、里面氣體的壓力，和重力
$mg+{p}_{0}^{\;}S={p}_{右}^{\;}S$
即：${p}_{右}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=1+0.01=1.01atm$
右管比左管水銀面高0.2m，${p}_{左}^{\;}={p}_{右}^{\;}+ρgh=1.01+0.1×0.2=1.03atm$
設(shè)初態(tài)溫度為${T}_{1}^{\;}$，末態(tài)溫度${T}_{2}^{\;}$，右側(cè)管內(nèi)氣體的長(zhǎng)度l
對(duì)左側(cè)氣體：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{左}^{\;}{V}_{左}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.03atm×1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$③
對(duì)右側(cè)氣體：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{右}^{\;}{V}_{右}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.01atm×lS}{{T}_{2}^{\;}}$④
聯(lián)立③④得：l=1.12m
故答案為：1.12

點(diǎn)評(píng) 本題考查理想氣體狀態(tài)方程的應(yīng)用，注意判斷活塞是否移動(dòng)，根據(jù)受力平衡求氣體壓強(qiáng)，對(duì)兩部分氣體列理想氣體狀態(tài)方程要正確確定初末狀態(tài)的參量．