Question

16．如圖所示的平面直角坐標系中：a、b、c三點的坐標分別為a（L，0）、b（0，-L）、c（-L，0），△abc區(qū)域內（含邊界）存在方向垂直于xOy平面向里的勻強磁場，△abc外，且y≤0的區(qū)域內存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場，兩磁場區(qū)域的磁感應強度大小相等；在y＞0的區(qū)域內還存在一個磁感應強度大小為B、方向垂直于xOy平面的矩形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出），矩形底邊平行于x軸、對角線的交點在y軸上．現(xiàn)有兩個可視為質點，質量均為m，電荷量均為q的帶正電粒子同時從a點射出，粒子甲的初速度方向與x軸負方向成45°角，粒子乙的初速度方向沿x軸負方向，當乙由a經b到達c點時，剛好與甲相遇，相遇時甲的速度方向也與x軸負方向成45°角．若已知粒子甲在第1象限做直線運動的時間等于它在矩形區(qū)域內的運動時間，空間為真空，不計粒子重力和粒子間的相互作用力，忽略粒子運動對電、磁場產生的影響．
（1）指出矩形區(qū)域內磁場的方向，求甲在矩形區(qū)域內運行的時間t及甲的速率v_甲；
（2）求乙的速率v_乙和y≤0區(qū)域內的磁感應強度大小B′滿足的條件．

Answer 1

分析 這是一道復雜的磁場區(qū)域的帶電粒子的運動綜合，三個磁場區(qū)域、兩個粒子從不同方向沿不同的運動路徑最后達到同一點．要考慮很多對稱性與多解性．
（1）根據(jù)題意粒子從a到c經歷三個階段，由左手定則就能判斷矩形磁場區(qū)域內的方向；又由于題中給出了粒子甲在第1象限做直線運動的時間等于它在矩形區(qū)域內的運動時間，由幾何關系和此條件就能求出甲在矩形區(qū)域內運行的時間t及甲的速率．
（1）乙粒子在兩種磁場中做勻速圓周運動的情況比較復雜，從a點出發(fā)先后在三角形內外做勻速圓周運動，最后又要達到c點，由幾何關系求出半徑與L的關系．別處要從兩個方面進行考慮：①若從a到b是奇數(shù)次，則總弧長為s₁=n×2πR′=2πL，從而能求出此種情況乙粒子的速度；②若從a到b是偶數(shù)次，則總弧長${s}_{2}=\frac{n}{2}×2πR′=πL$
由題中已知的時間求出這種情況下粒子乙的速度，再由半徑公式求出磁感應強度．

解答 解：（1）甲在矩形區(qū)域外做勻速直線運動，在矩形區(qū)域內做勻速圓周運動，根題意作出其運動軌跡如圖所示，
  由左手定則可得磁場方向為垂直于xoy平面向里
  在磁場中，甲偏轉的角度為90°
  由牛頓第二定律定律有：$q{v}_{甲}B=\frac{m{{v}_{甲}}^{2}}{R}$ 
  可得半徑：$R=\frac{m{v}_{甲}}{qB}$，周期：$T=\frac{2πm}{qB}$   
  運動時間：$t=\frac{90°}{360°}T=\frac{πm}{2qB}$   
  由幾何關系可得甲在第Ⅰ象限做直線運動的位移為：$x=\frac{L}{cos45°}-Rtan45°$
  在第Ⅰ象限做直線運動的時間：$t=\frac{x}{{v}_{甲}}$
聯(lián)立解得：v_甲=$\frac{2\sqrt{2}qBL}{（2+π）m}$
（2）根據(jù)題意，甲由a到c經歷的時間為${t}_{甲}=3t=\frac{3πm}{2qB}$   
  設乙在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R′
  由牛頓第二定律有：$q{v}_{乙}B=\frac{m{{v}_{乙}}^{2}}{R′}$
  根據(jù)運動的對稱性，乙由a經b到達c的運動軌跡如圖所示，其中x′是每段圓弧軌跡對應的弦長，設n為由a至b對應的圓弧段數(shù)
                       $\sqrt{2}L=nx′$
    由幾何關系有：$\sqrt{2}R′=x′$
    聯(lián)立以上兩式得：$R′=\frac{L}{n}$
   ①當n為偶數(shù)時，所有弧長的總長為s₁=n×2πR′=2πL
      ${v}_{乙}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{總}}=\frac{4qBL}{3m}$
      $B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{4}{3}nB$     （n=1、3、5…）
    ②當n為偶數(shù)時，所有弧長的總長為${s}_{2}=\frac{n}{2}×2πR′=πL$
       ${v}_{乙}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{總}}=\frac{2qBL}{3m}$
       $B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{2}{3}nB$   （n=2、4、6…）
答：（1）矩形區(qū)域內磁場的方向為垂直紙面向里，甲在矩形區(qū)域內運行的時間t及甲的速率為$\frac{2\sqrt{2}qBL}{（2+π）m}$．
（2）乙的速率為${v}_{乙}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{總}}=\frac{4qBL}{3m}$   但$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{4}{3}nB$    （n=1、3、5…）   或者${v}_{乙}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{總}}=\frac{2qBL}{3m}$  但$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{2}{3}nB$   （n=2、4、6…）．

點評 此題的靚點在于第三問：由于甲乙兩粒子從a到c的時間相等，所以只要求出乙的總路程，就可以求出乙粒子的速度，再由半徑公式求出磁感應強度的大小．而乙粒子的運動情況比較復雜但很具有對稱性，要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況考慮．