Question

8．如圖所示，在天花板O的正下方有兩點A、B，已知OA=h，AB=H，在天花板上尋找一點C，在點C與A、B之間各連接光滑細線，讓兩個小球分別穿在細線上，讓小球同時從C點下滑，兩球同時滑到A、B點，則OC的長度為多少？兩球的運動時間為多長？

Answer 1

分析 在點C與A、B之間各連接光滑細線，讓兩個小球分別穿在細線上，讓小球同時從C點下滑，相當于有兩個光滑的斜面，小球從斜面上下滑，由受力分析結合牛頓第二定律求得加速度，利用運動學方程求得OC的長度和兩球的運動時間．

解答 解：設OC的長度為L，AC、BC與水平面的傾角為α和β，由幾何關系可得：
sin$α=\frac{h}{\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}}$①
sin$β=\frac{h+H}{\sqrt{{L}^{2}{+（h+H）}^{2}}}$②
沿CA和CB方向下滑的小球的加速度分別為：
a₁=gsinα，③
a₂=gsinβ④
設運動時間為t，由運動學方程可得：$\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}={\frac{1}{2}}_{\;}$a₁t²⑤
$\sqrt{{L}^{2}{+（h+H）}^{2}}=\frac{1}{2}$${{a}_{2}t}^{2}$⑥
解①～⑥可得，L=$\sqrt{\frac{{h（h+H）}^{2}{-h}^{2}（h+H）}{H}}$⑦

聯(lián)立①③⑤⑦可得，t=$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$
答：OC的長度為$\sqrt{\frac{{h（h+H）}^{2}{-h}^{2}（h+H）}{H}}$，兩球的運動時間為$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$．

點評 本題采用等效法，將細線軌道轉化為斜面模型，將陌生的情景轉化為熟悉的情景，利用牛頓第二定律結合運動學方程求解，有一定的運算量．