Question

6．如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看做質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體第一次通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力F_N的大��；
（2）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程s；
（3）為使物體能順利通過(guò)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析 （1）物體從P到E的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出E點(diǎn)的速度，在E點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)物體的支持力，從而得到物體對(duì)軌道的壓力．
（2）物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于要克服摩擦力做功，機(jī)械能不斷損失，最終物體以B（還有B關(guān)于OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）為最高點(diǎn)，在圓弧底部做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出物體在AB軌道上通過(guò)的總路程s．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)中物體能過(guò)最高點(diǎn)D的條件求出D點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理求出L，從而得到L應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

解答 解：（1）物體從P到E的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgR-μmgcosθ•$\frac{Rcosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_N=3mg-2μmgcotθcosθ
（2）因?yàn)槲矬w在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦始終對(duì)物體做負(fù)功，機(jī)械能不斷減小，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)整體過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0
所以總路程為：s=$\frac{R}{μ}$
（3）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，則由向心力公式得：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgLsinθ-μmgcosθ•L-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：L=$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R
所以釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿(mǎn)足是L≥$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R
答：（1）物體第一次通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力F_N的大小是3mg-2μmgcotθcosθ；
（2）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程s是$\frac{R}{μ}$；
（3）釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿(mǎn)足是L≥$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，判斷物體最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)向心力來(lái)源，應(yīng)動(dòng)能定理、向心力知識(shí)結(jié)合解答．