Question

18．一光滑斜面圓滑地連接著一光滑平面，平面上的A點(diǎn)距斜面底端O為s，斜面傾角為θ如圖，一小球從斜面上某處滑下要運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間最短，小球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所在的高度h為多少？最短時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出小球在斜面上的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和末速度，從而得出小球在水平面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得出總時(shí)間，根據(jù)數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求出最短時(shí)間．

解答 解：小球在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度a=gsinθ，
根據(jù)$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{gsi{n}^{2}θ}}=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
到達(dá)底端的速度為：v=$\sqrt{2a\frac{h}{sinθ}}=\sqrt{2gh}$，
則在水平面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)為：間${t}_{2}=\frac{s}{v}=\frac{s}{\sqrt{2gh}}$，
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{s}{\sqrt{2gh}}$≥$2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$，
當(dāng)$\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{s}{\sqrt{2gh}}$時(shí)，t取最小值，解得：h=$\frac{ssinθ}{2}$，${t}_{min}=2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$．
答：小球開始運(yùn)動(dòng)所在高度h為$\frac{ssinθ}{2}$，時(shí)間最短，最短時(shí)間為$2\sqrt{\frac{s}{gsinθ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁，本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．