Question

17．如圖所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R遠(yuǎn)處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)M對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₁，當(dāng)從M中挖去一半徑為r=0.5R的球體時(shí)，剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₂．求F₁與F₂的比．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力定律求出M對(duì)m的萬(wàn)有引力，當(dāng)從M中挖去一半徑為r=$\frac{1}{2}$R的球體時(shí)，剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力等于原來(lái)的萬(wàn)有引力減去被挖去的球體對(duì)m的萬(wàn)有引力．

解答 解：質(zhì)點(diǎn)與大球球心相距2R，其萬(wàn)有引力為F₁，則F₁=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$
大球質(zhì)量M=ρ×$\frac{4}{3}$πR ³，挖去的小球質(zhì)量M′=ρ×$\frac{4}{3}$π（$\frac{R}{2}$）³，
即M′=$\frac{1}{8}$ρ×$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{M}{8}$
小球球心與質(zhì)點(diǎn)間相距$\frac{3}{2}$R，小球與質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力為：
F₁′=$\frac{GM′m}{{（\frac{3R}{2}）}^{2}}$
則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力為：
F₂=F₁-F₁′=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$-$\frac{GM′m}{{（\frac{3R}{2}）}^{2}}$=$\frac{7}{36}$$\frac{GMm}{{R}^{2}}$．
所以F₁與F₂的比是9：7．
答：F₁與F₂之比是9：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬(wàn)有引力定律得直接應(yīng)用，注意球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的距離為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．