Question

12．中國(guó)探月工程預(yù)計(jì)在2015年研制發(fā)射小型采樣返回艙，采集關(guān)鍵樣品后返回地球．如圖為從月球表面返回時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，軌道①為月球表面附近的環(huán)月軌道，軌道②為月球轉(zhuǎn)移橢圓軌道．已知月球的平均密度為ρ，半徑為R，引力常量為G．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球表面的重力加速度為g=$\frac{{4πG{R^2}ρ}}{3}$
• B． 返回艙繞環(huán)月軌道的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$
• C． 返回艙在軌道①上的運(yùn)行周期大于在軌道②上的運(yùn)行周期
• D． 從月球上發(fā)射返回艙進(jìn)入環(huán)月軌道所需的最小發(fā)射速度為v=$\frac{2R}{3}\sqrt{3πρG}$

Answer 1

分析 根據(jù)月球表面重力等于萬(wàn)有引力列式求解；根據(jù)$T=\frac{2πR}{v}$列式求解周期；根據(jù)開(kāi)普勒周期定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=c$列式判斷；根據(jù)重力提供向心力列式求解．

解答 解：A、在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：$mg=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
其中：$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
解得：g=$\frac{4πGRρ}{3}$，故A錯(cuò)誤；
BD、返回艙繞月圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
故返回艙進(jìn)入環(huán)月軌道①所需的最小發(fā)射速度為：
v=$\sqrt{gR}$=$\frac{2R}{3}\sqrt{3πρG}$
故D正確；
返回艙繞環(huán)月軌道①的運(yùn)動(dòng)周期為：
T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πR}{\frac{2R}{3}\sqrt{3πρG}}$=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$
故B正確；
C、根據(jù)開(kāi)普勒周期定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=c$，返回艙在軌道②上的周期大于在軌道①上的運(yùn)行周期，故C錯(cuò)誤；
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確返回艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律、萬(wàn)有引力定律、開(kāi)普勒第三定律列式分析．