Question

宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種形式是有三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng)．已知每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G．試求：
（1）第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度．
（2）第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期；
（3）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)行周期相同，求第二種形式下星體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．

Answer 1

（1）第一種形式，設(shè)軌道半徑為r，則據(jù)幾何關(guān)系有：r=

2

2

a
以任一星體為研究對(duì)象，作受力圖有：




∵如圖以D為研究對(duì)象，D受三個(gè)力的合力提供D圍繞圓周運(yùn)動(dòng)的向心力則有：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos450=m

v2

r

∴v=

(4+ 2 )Gm 4a

（2）根據(jù)周期定義有：
T=

2πr

v

∴可得：T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

（3）第二種形式，設(shè)軌道半徑為R，則位于等邊三角形頂點(diǎn)的兩星間距離為：L=2Rcos30°以做圓周運(yùn)動(dòng)的任一星體為研究對(duì)象：



∵G

m2

R2

+2G

m2

L2

cos300=m(

2π

T

)2R
∴R=a

3	6+2 3 12+3 2

答：（1）第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度v=

(4+ 2 )Gm 4a

．
（2）第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

；
（3）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)行周期相同，求第二種形式下星體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=a

3	6+2 3 12+3 2

．