Question

5．在某個(gè)半徑為R=10⁶m的行星表面，對(duì)于一個(gè)質(zhì)量m=1kg的砝碼，用彈簧測(cè)力計(jì)稱量，其重力的大小G₀=1.6N．
（1）請(qǐng)計(jì)算該星球的第一宇宙速度v₁．
（2）請(qǐng)計(jì)算該星球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）已知砝碼的質(zhì)量與所受重力可以求出星球表面的重力加速度；萬有引力等于重力，由此可以求出星球的質(zhì)量；萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出星球的第一宇宙速度．
（2）根據(jù)密度的公式：$ρ=\frac{m}{V}$即可求出密度．

解答 解：（1）砝碼受到的重力：G₀=mg，則重力加速度：g=$\frac{{G}_{0}}{m}=\frac{1.6}{1}$=1.6m/s²，
萬有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得星球質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{1.6×{（1{0}^{6}）}^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}$=2.4×10²²kg；
萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×2.4×1{0}^{22}}{1{0}^{6}}}$=1625m/s；
（2）該星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πR}$=$\frac{3×1.6}{4×3.14×1{0}^{6}}$=3.8×10^-7kg/m³
答：（1）該星球的第一宇宙速度是1625m/s．
（2）該星球的平均密度是3.8×10^-7kg/m³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求第一宇宙速度、星球質(zhì)量問題，根據(jù)題意求出星球表面的重力加速度是 解題的前提，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，本題是一道基礎(chǔ)題．