Question

7．一物體沿x軸在x₁=-A和x₂=A的區(qū)間內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．則該物體在四分之一周期內(nèi)通過(guò)的路程L的所有可能值的范圍是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，某人對(duì)此物體作隨機(jī)觀察，則該物體出現(xiàn)的微小間隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$．

Answer 1

分析 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，在$\frac{1}{4}$周期內(nèi)通過(guò)的路程可以結(jié)合位移時(shí)間關(guān)系圖象進(jìn)行分析，也可以運(yùn)用解析法求出相差四分之一周期的兩個(gè)時(shí)刻間的路程的一般表達(dá)式進(jìn)行分析討論．

解答 解：t時(shí)刻位移為：x=Asinωt
t+$\frac{T}{4}$時(shí)刻的位移為：x′=Asin（ωt+90°）
由于ωT=2π，故有：
若$0≤t≤\frac{T}{4}$或$\frac{T}{2}≤t≤\frac{3T}{4}$，則從t時(shí)刻到t+$\frac{T}{4}$時(shí)刻的路程為：S=2A-|x+x′|=2A-|Asinωt+Asin（ωt+90°）|=2A-|$\sqrt{2}Asin（ωt+45°）$|，故此時(shí)最小為（2A-$\sqrt{2}A$），最大為A；
若$\frac{T}{4}≤t≤\frac{T}{2}$或$\frac{3T}{4}≤t≤T$，則從t時(shí)刻到t+$\frac{T}{4}$時(shí)刻的路程為：S=|x-x′|=Asinωt-Asin（ωt+90°）|=|$\sqrt{2}Asin（ωt-45°）$|，故此時(shí)最大為$\sqrt{2}A$，最小為A；
所以該物體在四分之一周期內(nèi)通過(guò)的路程L的所有可能值的范圍是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A
若選擇半個(gè)周期π，則物體會(huì)均勻出現(xiàn)在[A，-A]之間，所以該物體出現(xiàn)的微小間隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$
故答案為：（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵得出t時(shí)刻和t+$\frac{T}{4}$時(shí)刻的位移，然后給出路程的一般表達(dá)式進(jìn)行分析討論，由于圖象較形象、直觀，故也可以從位移時(shí)間圖象角度進(jìn)行討論．