Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m1的物體甲通過三段輕繩懸掛，三段輕繩的結點為O，輕繩OA和輕繩OB能承受的最大拉力均為100$\sqrt{3}$N，另一根與甲相連的輕繩能承受足夠大拉力．輕繩B水平且B端與放置在水平面上的質(zhì)量為m₂=10kg的物體乙相連，輕繩OA與豎直方向的夾角θ=30°，物體甲、乙均處于靜止狀態(tài)．（g取10m/s²，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）求：
（1）若僅考慮繩的承受能力，物體甲的質(zhì)量m₁最大不能超過多少？
（2）若質(zhì)量為m₂的物體乙與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則欲使物體乙在水平面上不滑動，物體甲的質(zhì)量m₁最大不能超過多少？

Answer 1

分析 （1）對點O受力分析，受三個拉力，其中向下的拉力等于物體甲的重力，根據(jù)平衡條件列式分析；
（2）分析物體乙，受重力、支持力、拉力和摩擦力，考慮恰好不滑動的臨界情況，得到OB繩子的最大拉力，求解出對應的物體甲的最大質(zhì)量．

解答 解：（1）對點O分析，受三個拉力，根據(jù)平衡條件，三個拉力可以構成首尾相連的矢量三角形，如圖所示：

故F_B=Gtanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}_{1}g$，F(xiàn)_A=$\frac{G}{cosθ}=\frac{2}{3}\sqrt{3}{m}_{1}g$；
由于F_A＞F_B，故OA繩子先達到最大拉力，故物體甲的質(zhì)量m₁最大為：m₁=$\frac{{100\sqrt{3}N}}{{\frac{2}{3}\sqrt{3}g}}=\frac{{100\sqrt{3}}}{{\frac{2}{3}\sqrt{3}×10}}=15kg$；
（2）對物體乙受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，考慮恰好不滑動，根據(jù)平衡條件，有：
μm_Bg=F_B，
結合第一問結論，有：F_B=$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}_{1}g$，
故甲的最大質(zhì)量為：${m_1}=\frac{{μ{m_B}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}×10}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=10kg$；
答：（1）若僅考慮繩的承受能力，物體甲的質(zhì)量m₁最大不能超過15kg；
（2）若質(zhì)量為m₂的物體乙與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則欲使物體乙在水平面上不滑動，物體甲的質(zhì)量m₁最大不能超過10kg．

點評 本題涉及共點力平衡中極值問題，關鍵是找出臨界條件：當物體剛要滑動時，物體間的靜摩擦力達到最大．