Question

9．如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個(gè)半徑都為0.3m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細(xì)圓管（細(xì)圓管內(nèi)徑略大于小球的直徑），分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L為0.2m．下圓弧軌道與光滑水平地面軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，整個(gè)軌道固定在豎直平面內(nèi)．小球以一定的初速度從A點(diǎn)水平進(jìn)入軌道（計(jì)算結(jié)果可以用根式表示）

（1）如果小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，求落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離
（2）如果小球能從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，求小球在BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（3）如果在D點(diǎn)右側(cè)平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中能不脫離軌道，求初速度大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得B點(diǎn)和C點(diǎn)的速度，BC段為豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得BC段的平均速度，再由速度公式可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）要使小球不脫離軌道，則小球可能由D點(diǎn)返因A點(diǎn)，也可能超過D點(diǎn)后沿DEF軌道回到A點(diǎn)，則可知初速度的范圍．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
得t₁=0.4s
由x=v₀t₁
得x=2m；
（2）由B到D由機(jī)械能守恒定律可得：
mgh_BD+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_B²
由C到D由機(jī)械能守恒定律可得：
mgh_CD+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_C²
BC段的平均速度$\overline{v}$=$\frac{{v}_{B}+{v}_{c}}{2}$
小球經(jīng)過BC段的時(shí)間t=$\frac{{h}_{BC}}{\overline{v}}$
聯(lián)立解得：
t=0.02s；
（3）計(jì)論一：
小球進(jìn)入軌道最高運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，之后原路返回，由機(jī)械能守恒定律，有：
mgh_AC=$\frac{1}{2}$mv₁²
得v₁=$\sqrt{10}$m/s
討論二：小球進(jìn)入軌道后恰好能通過圓弧最高點(diǎn)D，之后沿DEF運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，在D點(diǎn)，有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由機(jī)械能守恒定律可得：
有：mgh_AD+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：
v₁$≤\sqrt{10}$m/s或v₂$≥2\sqrt{5}$m/s
答：（1）如果小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離為2m
（2）如果小球能從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出，小球在BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.02s；
（3）如果在D點(diǎn)右側(cè)平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍v₁$≤\sqrt{10}$m/s或v₂$≥2\sqrt{5}$m/s

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用以及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，要注意正確分析物理過程，正確進(jìn)行受力分析，再通過平衡條件等選擇正確的物理規(guī)律列式求解．關(guān)鍵要注意正確選擇物理過程．