Question

1．某校興趣小組制作了一個(gè)游戲裝置，其簡(jiǎn)化模型如圖所示，在A點(diǎn)用一彈射裝置可將靜止的小滑塊以v₀水平速度彈射出去，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后，進(jìn)入半徑R=0.3m的光滑豎直圓形軌道，運(yùn)行一周后自B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)右側(cè)有一陷阱，C、D兩點(diǎn)的豎直高度差h=0.2m，水平距離s=0.6m，水平軌道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=1m，BC長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=2.6m，小滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．
（1）若小滑塊恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，求小滑塊在A點(diǎn)彈射出的速度大��；
（2）若游戲規(guī)則為小滑塊沿著圓形軌道運(yùn)行一周離開圓形軌道后只要不掉進(jìn)陷阱即為勝出．求小滑塊在A點(diǎn)彈射出的速度大小范圍．

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球經(jīng)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度．根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從A點(diǎn)到軌道最高點(diǎn)的過程，求解小球在A點(diǎn)的初速度．
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，又不能掉進(jìn)壕溝，有兩種情況：第一種情況：小球停在BC間；第二種情況：小球越過壕溝．若小球恰好停在C點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出小球的初速度．得出第一種情況下小球初速度范圍．若小球恰好越過壕溝，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求出初速度，得到初速度范圍．

解答 解：（1）小球恰能通過最高點(diǎn)時(shí)，重力充當(dāng)向心力，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
由A到B再到最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgL₁-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得在A點(diǎn)的初速度：v_A=5m/s            
（2）若小球恰好停在C處，對(duì)全程進(jìn)行研究，則有：
-μmg（L₁+L₂）=0-$\frac{1}{2}$mv′²，
代入數(shù)據(jù)解得：v′=6m/s．
所以當(dāng)5m/s≤v_A≤6m/s時(shí)，小球停在BC間．若小球恰能越過壕溝時(shí)，則有：
  h=$\frac{1}{2}$gt²，
  s=vt，
聯(lián)立解得：v=3m/s
由動(dòng)能定理得：-μmg（L₁+L₂）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv″²
代入數(shù)據(jù)解得：v″=3$\sqrt{5}$m/s，
所以當(dāng)v_A≥3$\sqrt{5}$m/s，小球越過壕溝．
故若小球既能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，又不能掉進(jìn)壕溝，小滑塊在A點(diǎn)彈射出的速度大小范圍是5m/s≤v_A≤6m/s或v_A≥3$\sqrt{5}$m/s．
答：（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，小球在A點(diǎn)的初速度是5m/s．
（2）小滑塊在A點(diǎn)彈射出的速度大小范圍是5m/s≤v_A≤6m/s或v_A≥3$\sqrt{5}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，注意分析臨界狀態(tài)，把握臨界條件是關(guān)鍵．