Question

2．如圖所示，在足夠大的空間中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向垂直紙面向里．在紙面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形框架DEF，DE中點(diǎn)S處有一粒子發(fā)射源，發(fā)射粒子的方向在紙面內(nèi)且垂直于DE邊向下，如圖所示，所發(fā)射粒子的帶電量為+q，質(zhì)量為m，但速度v有各種不同的數(shù)值．若這些粒子與三角形框架碰撞時(shí)均無(wú)能量損失，且每一次碰撞時(shí)速度方向都垂直于被碰的邊，試求：
（1）帶電粒子的速度v為多大時(shí)，能夠打到E點(diǎn)？
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，v應(yīng)為多大？最短時(shí)間為多少？
（3）若磁場(chǎng)是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖（b）所示（圖中圓為其橫截面），圓柱的軸線通過(guò)等邊三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L，要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，帶電粒子速度v的大小應(yīng)取哪些數(shù)值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系得出半徑與SE的關(guān)系，從而求出粒子的速度；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速度無(wú)關(guān)，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最小時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，可知當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于$\frac{L}{2}$時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，結(jié)合圓心角求出運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間，結(jié)合半徑公式求出速度的大小；
（3）S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)必須滿足（2）的條件．要求此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到S點(diǎn)；粒子能繞過(guò)頂點(diǎn)與△DEF的邊相碰，根據(jù)半徑公式和幾何關(guān)系求出粒子的速度．

解答 解：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
根據(jù)幾何關(guān)系有：$\frac{L}{2}$L=n×2R （n=1，2，3…）
解得：$v=\frac{qvB}{4nm}$（n=1，2，3…）；
（2）依題意粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，$R=\frac{L}{2}×\frac{1}{2n-1}$（n=1，2，3…）
在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，與粒子速度無(wú)關(guān)
由粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{θ}{2π}T$得，粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最小時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短
此時(shí)n取1，$R=\frac{L}{2}=\frac{mv}{qB}$
解得：$v=\frac{qBL}{2m}$
粒子以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心運(yùn)動(dòng)，相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔為$t=\frac{5T}{6}$
第三次碰撞回到S點(diǎn)，則最短時(shí)間為${t}_{min}=3t=\frac{5}{2}T=\frac{5πm}{qB}$；
（3）要求此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，
且能回到S點(diǎn)，則R和v應(yīng)滿足以下條件：由于碰撞時(shí)速度v與邊垂直，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心一定位于△DEF的邊上，
粒子繞過(guò)△DEF頂點(diǎn)D、E、F時(shí)的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(diǎn)（即D、E、F）上
粒子從S點(diǎn)開(kāi)始向右作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一系列半徑為R的半圓，
在SE邊上最后一次的碰撞點(diǎn)與E點(diǎn)的距離應(yīng)為R，所以SE的長(zhǎng)度應(yīng)是R的奇數(shù)倍
即SE=0.6a=（2n+1）R n=0、1、2、3…
由幾何關(guān)系得：$OE=0.4\sqrt{3}a$
延長(zhǎng)OE至圓形區(qū)域交于M，EM=a-OE=0.3a
若使粒子不射出磁場(chǎng)，有R≤0.3a
聯(lián)立解得：n≥0.5，即n=1，2，3，4，5，6…，
解得v=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{50}）qBL}{（2n+1）m}$，n=1，2，3，4，5，6，
答：（1）帶電粒子的速度$v=\frac{qvB}{4nm}$（n=1，2，3…）時(shí)，能夠打到E點(diǎn)；
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，v應(yīng)為$v=\frac{qBL}{2m}$，最短時(shí)間為$\frac{5πm}{qB}$；
（3）若磁場(chǎng)是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖（b）所示（圖中圓為其橫截面），圓柱的軸線通過(guò)等邊三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L，要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，帶電粒子速度v的大小應(yīng)取v=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{50}）qBL}{（2n+1）m}$，n=1，2，3，4，5，6…

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑通項(xiàng)表達(dá)式，確定半徑為何值時(shí)恰好打在E點(diǎn)，何時(shí)能夠回到S點(diǎn)，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．注意結(jié)合幾何特性及半徑與長(zhǎng)度的關(guān)系，從而確定運(yùn)動(dòng)軌跡，這是解題的關(guān)鍵．