Question

5．如圖，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的四分之一圓弧，與粗糙水平面BC相切．將質(zhì)量m=0.5kg的滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點(diǎn)滑行L=18m后到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度v₁=8m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.5，再使滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，到達(dá)C點(diǎn)的速度為v₂=6m/s．
（1）求圓弧的半徑R；
（2）求MN段的長(zhǎng)度l；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長(zhǎng)度不變，要使滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，問鐵刷劃擦的MN段位于何位置？請(qǐng)作出v-t圖，并通過分析v-t圖得出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理可求得滑塊經(jīng)過B點(diǎn)的速度．對(duì)滑塊由A到B，由動(dòng)能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動(dòng)能定理列式，可求得MN段的長(zhǎng)度l．
（3）MN在最左端時(shí)滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移關(guān)系公式研究MN段，得到此過程滑塊到N的速度．再平均速度求滑行的總時(shí)間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為：v_B=10m/s
滑塊由A到B，由動(dòng)能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：R=5m
（2）滑塊第二次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：l=3.5m
（3）根據(jù)動(dòng)能定理可知，無論MN段位何位置，滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度不變，如圖，作出v-t圖象．黑線表示MN段沒有用鐵刷劃擦的圖象．由于MN段長(zhǎng)度不變，隨著M端離B點(diǎn)距離增大，由圖看出所用時(shí)間變短，因此M端與B點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間最長(zhǎng)．
由題意分析可知，MN在最左端時(shí)滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．
答：（1）圓弧的半徑R是5m；
（2）MN段的長(zhǎng)度l是3.5m；
（3）鐵刷劃擦的MN段M端與B點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及力在空間的效應(yīng)，運(yùn)用動(dòng)能定理是常用的思路，要反復(fù)運(yùn)用動(dòng)能定理列式解答，列式時(shí)要抓住各個(gè)過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系．