Question

11．如圖所示，光滑的斜面體OAB固定在水平地面上，在其右端B點與固定的光滑半圓形軌道平滑連接，半圓軌道與水平地面相切于B點，且半圓軌道的最高點C與斜面頂端A處于同一水平高度．小滑塊（可看成質點）的質量為m，半圓軌道半徑為R，斜面傾角α=45°（不計空氣阻力和在B點處的能量損失）．
（1）若小滑塊自A點無初速度下滑，求小滑塊在B點對半圓軌道的壓力（滑塊在B點做圓周運動）？
（2）若斜面AB的動摩擦因數μ=0.5，半圓軌道光滑；現讓小滑塊以一定的初速度v₀自A點沿斜面下滑，欲使小滑塊能通過C點，v₀至少要為多大？
（3）若斜面AB的動摩擦因數?=0.5，半圓軌道不光滑；小滑塊從A點以初速度v₁=2$\sqrt{gR}$沿斜面下滑，過C點后恰能垂直地打在斜面AB上，求滑塊從B到C過程中克服阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求B點速度，根據牛頓運動定律求解支持力，根據牛頓第三定律知壓力；
（2）若恰好過C點，則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$得C點速度，根據動能定理知初速度大小；
（3）由幾何知識求平拋運動的水平距離和下落高度，根據平拋運動規(guī)律求解初速度，根據動能定理求解克服阻力做功．

解答 解：小滑塊自A點無初速度下滑，小滑塊在B點速度為v_B，
根據動能定理知mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
對B分析知F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得F_B=5mg，根據牛頓第三定律知小滑塊在B點對半圓軌道的壓力為5mg；
（2）若斜面AB的動摩擦因數μ=0.5，半圓軌道光滑，由A到C，由動能定理知
-μmgcos45°$•2\sqrt{2}R$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
若恰好過C點，則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得v₀=$\sqrt{3gR}$
（3）C拋出后，做平拋運動，故
由幾何知識知tanα=$\frac{2R-x}{x}$=$\frac{1}{2}tan45°$
解得x=$\frac{4}{3}R$
由平拋運動規(guī)律知
x=v_ct
$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得v_C=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
根據動能定理知-μmgcos45°$•2\sqrt{2}R$-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得W_f=$\frac{1}{3}$mgR
答：（1）若小滑塊自A點無初速度下滑，小滑塊在B點對半圓軌道的壓力為5mg；
（2）若斜面AB的動摩擦因數μ=0.5，半圓軌道光滑；現讓小滑塊以一定的初速度v₀自A點沿斜面下滑，欲使小滑塊能通過C點，v₀至少要為=$\sqrt{3gR}$．
（3）若斜面AB的動摩擦因數?=0.5，半圓軌道不光滑；小滑塊從A點以初速度v₁=2$\sqrt{gR}$沿斜面下滑，過C點后恰能垂直地打在斜面AB上，滑塊從B到C過程中克服阻力做的功為$\frac{1}{3}$mgR．

點評 分析清楚物體的運動過程，應用動能定理、運動學公式、牛頓第二定律即可正確解題；解題時注意最高點速度最小為$\sqrt{gR}$．