Question

11．如圖所示，光滑的斜面體OAB固定在水平地面上，在其右端B點(diǎn)與固定的光滑半圓形軌道平滑連接，半圓軌道與水平地面相切于B點(diǎn)，且半圓軌道的最高點(diǎn)C與斜面頂端A處于同一水平高度．小滑塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量為m，半圓軌道半徑為R，斜面傾角α=45°（不計(jì)空氣阻力和在B點(diǎn)處的能量損失）．
（1）若小滑塊自A點(diǎn)無初速度下滑，求小滑塊在B點(diǎn)對(duì)半圓軌道的壓力（滑塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)）？
（2）若斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，半圓軌道光滑；現(xiàn)讓小滑塊以一定的初速度v₀自A點(diǎn)沿斜面下滑，欲使小滑塊能通過C點(diǎn)，v₀至少要為多大？
（3）若斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.5，半圓軌道不光滑；小滑塊從A點(diǎn)以初速度v₁=2$\sqrt{gR}$沿斜面下滑，過C點(diǎn)后恰能垂直地打在斜面AB上，求滑塊從B到C過程中克服阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求B點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解支持力，根據(jù)牛頓第三定律知壓力；
（2）若恰好過C點(diǎn)，則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$得C點(diǎn)速度，根據(jù)動(dòng)能定理知初速度大小；
（3）由幾何知識(shí)求平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離和下落高度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解初速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服阻力做功．

解答 解：小滑塊自A點(diǎn)無初速度下滑，小滑塊在B點(diǎn)速度為v_B，
根據(jù)動(dòng)能定理知mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
對(duì)B分析知F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得F_B=5mg，根據(jù)牛頓第三定律知小滑塊在B點(diǎn)對(duì)半圓軌道的壓力為5mg；
（2）若斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，半圓軌道光滑，由A到C，由動(dòng)能定理知
-μmgcos45°$•2\sqrt{2}R$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
若恰好過C點(diǎn)，則mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得v₀=$\sqrt{3gR}$
（3）C拋出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，故
由幾何知識(shí)知tanα=$\frac{2R-x}{x}$=$\frac{1}{2}tan45°$
解得x=$\frac{4}{3}R$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知
x=v_ct
$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得v_C=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
根據(jù)動(dòng)能定理知-μmgcos45°$•2\sqrt{2}R$-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得W_f=$\frac{1}{3}$mgR
答：（1）若小滑塊自A點(diǎn)無初速度下滑，小滑塊在B點(diǎn)對(duì)半圓軌道的壓力為5mg；
（2）若斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，半圓軌道光滑；現(xiàn)讓小滑塊以一定的初速度v₀自A點(diǎn)沿斜面下滑，欲使小滑塊能通過C點(diǎn)，v₀至少要為=$\sqrt{3gR}$．
（3）若斜面AB的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.5，半圓軌道不光滑；小滑塊從A點(diǎn)以初速度v₁=2$\sqrt{gR}$沿斜面下滑，過C點(diǎn)后恰能垂直地打在斜面AB上，滑塊從B到C過程中克服阻力做的功為$\frac{1}{3}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)注意最高點(diǎn)速度最小為$\sqrt{gR}$．