Question

8．經(jīng)過(guò)近7年時(shí)間，2億千米在太空中穿行后，美航天局和歐航天局合作研究出“卡西尼”號(hào)土星探測(cè)器于美國(guó)東部時(shí)間6月30日抵達(dá)預(yù)定軌道，開(kāi)始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族．這是人類首次針對(duì)土星及其31顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測(cè)．若“卡西尼”號(hào)土星探測(cè)器進(jìn)入環(huán)繞土星上空的圓軌道飛行，已知土星半徑為R，探測(cè)器離土星表面高度為h，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，求：
（1）土星的質(zhì)量M；
（2）若在土星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，至少需要多大的速度？

Answer 1

分析 （1）探測(cè)器繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，求出探測(cè)器運(yùn)行的周期．由土星的萬(wàn)有引力提供探測(cè)器的向心力列方程求出土星的質(zhì)量．
（2）“卡西尼”繞土星表面勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，化簡(jiǎn)可得土星衛(wèi)星的最小速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力為：
G$\frac{{M}_{土}m}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{t}{n}）^{2}}$（R+h）
解得：M_土=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）“卡西尼”繞土星表面勻速圓周運(yùn)動(dòng)：G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以最小速度：v=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$；
答：（1）土星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$．
（2）若在土星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，至少需要的速度為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題題目看似很長(zhǎng)，要耐心讀題，抓住要點(diǎn)，建立物理模型：探測(cè)器繞土星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，土星的萬(wàn)有引力提供向心力．