Question

18．如圖甲所示，xOy平面內(nèi)虛線左側(cè)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，虛線右側(cè)有垂直紙面的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按如圖乙所示的規(guī)律變化，設(shè)垂直紙面向外的磁場方向?yàn)檎�方向．某時(shí)刻一個(gè)帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正方向開始運(yùn)動，在t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻經(jīng)過圖中虛線上的P點(diǎn)進(jìn)入磁場，t=$\frac{3T}{4}$時(shí)該粒子通過x軸且速度方向沿，y軸負(fù)方向，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$a，a），不計(jì)粒子的重力．試求：

（1）電場強(qiáng)度的大小．
（2）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，1），粒子速度v₀=1×10²m/s，求出粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間并做出粒子的運(yùn)動過程軌跡示意圖．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從O到P做類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)規(guī)律結(jié)合可求得電場強(qiáng)度與初速度的關(guān)系式．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求解軌跡半徑，由牛頓第二定律得到半徑與速度的關(guān)系式，聯(lián)立可求得電場強(qiáng)度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，結(jié)合軌跡的圓心角和周期，可求得時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，從O到P做類平拋運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間設(shè)為t，則有：
  2$\sqrt{3}$a=v₀t
  a=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qa}$
粒子運(yùn)動到P點(diǎn)速度為v，與x方向的夾角為α，則有：
v_y=$\frac{qE}{m}t$=$\frac{q}{m}$•$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qa}$•$\frac{2\sqrt{3}a}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即：α=30°
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑為R，則有：R=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
畫出軌跡，如圖，由幾何關(guān)系和題意可得：R=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
由以上各式解得：E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{6}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{2πa}{{v}_{0}}$
由幾何關(guān)系可知粒子運(yùn)動$\frac{T}{4}$軌跡對應(yīng)的圓心角為 φ=120°
此過程粒子運(yùn)動的時(shí)間為：t=$\frac{{T}_{1}}{3}$
根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化規(guī)律，作出粒子的運(yùn)動過程示意圖．
由圖可知粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為：t′=$\frac{1}{3}{T}_{1}$+T₁+$\frac{1}{3}{T}_{1}$=$\frac{5}{3}{T}_{1}$=$\frac{10πa}{3{v}_{0}}$
代入數(shù)據(jù)解得：t′=$\frac{10π}{3}×1{0}^{-2}$s
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{6}$．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為$\frac{10π}{3}×1{0}^{-2}$s，作出粒子的運(yùn)動過程軌跡示意圖如圖．

點(diǎn)評 由該題看出，分清物理過程，不同物理過程應(yīng)用相應(yīng)的物理知識；抓住關(guān)鍵字句，分析出關(guān)鍵條件．在磁場中，利用相關(guān)知識來“定圓心，找半徑”，畫出軌跡，要有良好的作圖能力及幾何分析能力，這是解決此類問題的關(guān)鍵．