Question

12．蕩秋千是同學(xué)們喜愛的一項(xiàng)體育活動(dòng)．隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，你也許會(huì)在火星上享受蕩秋千的樂趣．假設(shè)某同學(xué)乘坐宇宙飛船飛近火星，進(jìn)入靠近火星表面的圓形軌道繞火星數(shù)圈，測(cè)出飛船繞火星表面運(yùn)轉(zhuǎn)的周期為T．著陸后在火星上蕩秋千，將蕩秋千的人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千擺線長(zhǎng)度不變，擺線質(zhì)量不計(jì)，擺角（擺繩與豎直方向的夾角）小于90°，已知火星的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）火星的質(zhì)量；
（2）火星表面重力加速度的大��；
（3）若該同學(xué)和秋千的總質(zhì)量是m，秋千擺線長(zhǎng)l，經(jīng)過最低點(diǎn)速度為v時(shí)，秋千擺線的拉力是多大？

Answer 1

分析 （1）飛船做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出火星的質(zhì)量．
（2）萬有引力等于重力，據(jù)此求出重力加速度．
（3）秋千做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出拉力．

解答 解：（1）飛船在火星附近飛行，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{T}）}^{2}$R
解得火星質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）在火星表面的物體所受重力等于萬有引力，
即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（3）秋千經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，解得：F=$\frac{4{π}^{2}mR}{{T}^{2}}$+m$\frac{{v}^{2}}{l}$；
答：（1）火星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；（2）火星表面重力加速度的大小為$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；（3）經(jīng)過最低點(diǎn)速度為v時(shí)，秋千擺線的拉力是：$\frac{4{π}^{2}mR}{{T}^{2}}$+m$\frac{{v}^{2}}{l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬有引力定律應(yīng)用與圓周運(yùn)動(dòng)向結(jié)合的綜合題，知道萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．