Question

7．如圖所示，三個質(zhì)量均為m的恒星系統(tǒng)，組成一個邊長為a的等邊三角形．設(shè)它們僅受彼此之間的萬有引力作用，且正在以三角形的中心O點為圓心，在三角形所在的平面內(nèi)做勻速圓周運動．已知引力常量為G，則（　�。�

• A． 每個恒星受到的引力大小為$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
• B． 每個恒星受到的引力大小為$\frac{Gm}{a}$
• C． 每個恒星的向心加速度大小為$\frac{\sqrt{3}Gm}{{a}^{2}}$
• D． 此系統(tǒng)的角速度大小為$\sqrt{\frac{3Gm}{{a}^{3}}}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：三個質(zhì)量均為m的恒星系統(tǒng)，組成一個邊長為a的等邊三角形，等邊三角形的角為60°；
A、任意兩個星星之間的萬有引力F=G$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$，每一顆星星受到的合力：F_合=2Fcos30°=$\sqrt{3}$F=$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，故AB錯誤；
C、由牛頓第二定律得：$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$=ma，解得，向心加速度：a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{a}^{2}}$，故C正確；
D、由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，由牛頓第二定律得：$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$=mω²r，解得：ω=$\sqrt{\frac{3Gm}{{a}^{3}}}$，故D正確；
故選：CD．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．